算法图解读书笔记

二分法查找

• 对于区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点。

• 适用于提高大列表查询速度，对于包含n个元素的列表，时间复杂度为:O(log2n)。

• 列表必须有序，并且当列表中存在多个相同元素时并非返回列表中第一次出现元素，不同实现算法获取到元素索引也不一定相同。

• 代码实现1

    /// <summary>
    /// 递归实现元素查找
    /// <para>集合长度不变，左右查找边界移动。</para>
    /// <para>已经做集合有序性检查，必须升序，否则返回-1</para>
    /// <para>集合中存在查找元素时返回索引，否则返回-1。</para>
    /// </summary>
    /// <param name="list">查找集合</param>
    /// <param name="t">待查找元素</param>
    /// <param name="left">查找左边界</param>
    /// <param name="right">查找右边界</param>
    /// <returns></returns>
    static int FindIndexByBisection(List<int> list, int t, int left, int right)
    {
        /*保证集合有序*/
        if (list[left] > list[right])
            return -1;
  
        /*集合中存在的元素一定在最小值与最大值之间*/
        if (t < list[left] || t > list[right])
            return -1;
  
        /*左右边界已经首次靠近，但是两边界所在元素均不等于待查找元素，直接返回*/
        if (right - left == 1 && list[left] != t && list[right] != t)
            return -1;
  
        int midIndex = (left + right) / 2;
        int midValue = list[midIndex];
  
        if (t < midValue)
            return FindIndexByBisection(list, t, left, midIndex);
        else if (t > midValue)
            return FindIndexByBisection(list, t, midIndex, right);
        else
            return midIndex;
    }
  

• 代码实现2

    /// <summary>
    /// 递归实现元素查找
    /// <para>集合长度变化，左右查找边界固定。</para>
    /// <para>已经做集合有序性检查，必须升序，否则返回-1。</para>
    /// <para>集合中存在查找元素时返回索引，否则返回-1。</para>
    /// </summary>
    /// <param name="list">查找集合</param>
    /// <param name="t">待查找元素</param>
    /// <param name="index">待查找元素索引</param>
    static void FindIndexByBisection(List<int> list, int t, ref int index)
    {
        /*初始值处理，防止调用方法中设置了错误默认值*/
  
        int count = list.Count;
        int midIndex = count / 2;
        int midValue = list[midIndex];
  
        /*找到元素立即返回*/
        if (t == midValue)
        {
            index += 1;
            return;
        }
  
        /*未找到元素，且集合长度变为1返回-1*/
        if (list.Count == 1)
        {
            index = -1;
            return;
        }
  
        /*未找到元素，集合长度大于1，但集合无序返回-1*/
        if (list[count - 2] > list[count - 1])
        {
            index = -1;
            return;
        }
  
        List<int> midList = list.Take(midIndex).ToList();
        if (t > midValue)
        {
            index += midIndex;//元素比集合中间位置元素大时将中间元素索引累加上去
            midList = list.Skip(midIndex).ToList();
        }
        FindIndexByBisection(midList, t, ref index);
    }
  

算法效率

• 大O表示法表示最糟糕情况下程序的运行时间。
• 常见大O运行时间
  • O(log n) 对数时间，二分查找。
  • O(n) 线性时间，简单查找。
  • O(n * log n) 快速排序算法。
  • O(n*n) 选择排序算法。
  • O(n!) 旅行商问题。
• 算法的速度指的并非时间，而是操作数的增速。
• 谈论算法的速度时，我们说的是随着输入的增加，其运行时间将以什么样的速度增加。
• 大O表示法忽略常量是由于不同算法间效率相差几个数量级，而对于效率相近的算法常量有时候事关重大。

选择排序

• 第一次从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，存放在序列的起始位置，然后再从剩余的未排序元素中寻找到最小（大）元素，然后放到已排序的序列的末尾。以此类推，直到全部待排序的数据元素的个数为零。

• 时间复杂度O(n*n)。

• 代码实现1

    /// <summary>
    /// 选择排序
    /// <para>时间复杂度o(n^2)</para>
    /// </summary>
    /// <param name="list"></param>
    /// <returns></returns>
    static List<int> SelectionSort(List<int> list)
    {
        var result = new List<int>();
  
        for (var i = 0; i < list.Count; i++)
        {
            var minValue = list[i];
            for (var j = i; j < list.Count; j++)
            {
                if (list[j] < minValue)
                    minValue = list[j];
            }
            result.Add(minValue);
        }
        return result;
    }
  

递归

• 原则 如果使用循环，代码的性能可能更高；如果使用递归，程序可能更容易理解。如何选择要看什么对你来说更重要。
• 组成
  • 基线条件指什么条件下结束函数自我调用，避免无限循环;
  • 递归条件指函数调用自己。

快速排序

• 分而治之策略

  • 找出基线条件，条件尽可能简单。
  • 不断将问题分解，直到符合基线条件。

• 快速排序原理

  • 从数组中随机地选择一个元素作为基准值;
  • 找出比基准值小以及比基准值大的元素,将数组分区;
    • 小于基准值的元素构成的子数组;
    • 基准值;
    • 大于基准值的元素构成的子数组。
  • 对两个子数组进行快速排序。

• 时间复杂度O(n log n)。

• 代码实现1

    /// <summary>
    /// 快速排序
    /// </summary>
    /// <param name="list"></param>
    /// <returns></returns>
    static List<int> QuickSort(List<int> list)
    {
        /*基准条件：当列表为空或者只存在一个元素时一定有序，返回列表*/
        if (list?.Count <= 1)
            return list;
  
        var midIndex = list.Count / 2;
        var midValue = list[midIndex];//基准值
        var lessList = new List<int>();//左列表
        var greaterList = new List<int>();//右列表
        for (int i = 1; i < list.Count; i++)
        {
            if (list[i] <= midValue)
                lessList.Add(list[i]);
            else
                greaterList.Add(list[i]);
        }
  
        lessList = QuickSort(lessList);
        greaterList = QuickSort(greaterList);
  
        var result = new List<int>();
        result.AddRange(lessList);
        result.Add(midValue);
        result.AddRange(greaterList);
        return result;
    }
  

散列表

• 散列函数
  • 总是将相同的输入映射到相同的索引;
  • 将不同的输入映射到不同的索引;
  • 知道数组大小，只返回有效索引。
• 填装因子散列表包含的元素数/位置总数。
• 冲突
  • 场景给两个键分配的位置相同。
  • 性能
    • 数组中冲突位置存放一个链表，而将冲突键存到链表中。可以避免冲突性能较低。
    • 保证较低的填装因子（<=1）。
• 时间复杂度O(1)。