「重磅好文」你能找到的最详细约瑟夫环的数学推导！
问题描述
约瑟夫环问题是这样的：
0 , 1 , … , n − 1 0, 1, …, n - 1 0,1,…,n−1 这 n n n 个数字排成一个圆圈，从数字 0 开始，每次从这个圆圈里删除第 m m m 个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。
例如， 0 、 1 、 2 、 3 、 4 0、1、2、3、4 0、1、2、3、4 这 5 个数字组成一个圆圈，从数字 0 开始每次删除第 3 个数字，则删除的前 4 个数字依次是 2 、 0 、 4 、 1 2、0、4、1 2、0、4、1，因此最后剩下的数字是 3 3 3。如下图所示。
解法
解决约瑟夫环问题，我们采用倒推，我们倒推出：最后剩下的这个数字，在最开始的数组中的位置。
- 剩下最后一个数字（简称“它”）的时候，总个数为 1，它的位置 p o s = 0 pos = 0 pos=0。
- 那么它在上一轮也是安全的，总个数为 2，它的位置 p o s = ( 0 + m ) % 2 pos = (0 + m) \% 2 pos=(0+m)%2；
- 那么它在上上轮也是安全的，总个数为 3，它的位置 p o s = ( ( 0 + m ) % 2 + m ) % 3 pos = ((0 + m) \% 2 + m) \% 3 pos=((0+m)%2+m)%3；
- 那么它在上上上轮也是安全的，总个数为 4，它的位置 p o s = ( ( ( 0 + m ) % 2 + m ) % 3 ) % 4 pos = (((0 + m) \% 2 + m) \% 3) \% 4 pos=(((0+m)%2+m)%3)%4；
- …
- 那么它在游戏开始的第一轮也是安全的，总个数为 n n n，它的位置 p o s pos pos 就是最后的结果。
即如果从下向上反推的时候：假如它前一轮的索引为 p o s pos pos，那么当前轮次的位置就是 ( p o s + m ) % (pos + m) \% (pos+m)% 当前轮次的人数。
最后，由于给出的数字是 n u m s = 0 , 1 , 2 , . . , n − 1 nums = 0, 1, 2, .., n - 1 nums=0,1,2,..,n−1，即 n u m s [ i ] = i nums[i] = i nums[i]=i，因此找出 p o s pos pos 就相当于找到这个数字。
大部分解法解到这里就结束了，缺乏递推公式的数学证明，现就数学推导说明如下。
数学推导
定义：
- 约瑟夫环操作：把一些数字排成一个圆圈，从数字 0 开始，每次从这个圆圈里删除第 m m m 个数字，直到最后只剩一个数字。
- 函数 f ( n , m ) f(n, m) f(n,m) ：表示对 n n n 个数字 0 , 1 , … , n − 1 0, 1, …, n - 1 0,1,…,n−1 做约瑟夫环操作，最后剩下的这个数字。（这个定义特别重要，理解之后才向下看）
下面开始推导。
整体思路：
-
在以 0 为起始的长度为 n n n 的序列上做约瑟夫环操作的最终结果 f ( n , m ) = f(n, m)= f(n,m)=
在完成上轮操作删除数字 k k k 之后的新序列上的约瑟夫环操作的最终结果 h ( n − 1 , m ) = h(n - 1, m)= h(n−1,m)=
将新序列映射成以 0 为起始的长度为 n − 1 n - 1 n−1 的序列上的约瑟夫环操作的最终结果 f ( n − 1 , m ) f(n - 1, m) f(n−1,m) 的逆映射。
-
得到下次操作的新序列
在 0 , 1 , … , n − 1 0, 1, …, n - 1 0,1,…,n−1 这 n n n 个数字中，第一个被删除的数字是 ( m − 1 ) % n (m - 1) \% n (m−1)%n。为了简单起见，我们把 ( m − 1 ) % n (m - 1) \% n (m−1)%n 记为 k k k，那么删除 k k k 之后剩下的 n − 1 n - 1 n−1 个数字为 0 , 1 , … , k − 1 , k + 1 , … , n − 1 0, 1, …, k - 1, k + 1, …, n - 1 0,1,…,k−1,k+1,…,n−1，并且下一次删除时要从 k + 1 k + 1 k+1 开始计数。相当于在剩下的序列中， k + 1 k + 1 k+1 排在最前面，所以第二次操作的序列是 k + 1 , … , n − 1 , 0 , 1 , … , k − 1 k + 1, …, n - 1, 0, 1, …, k - 1 k+1,…,n−1,0,1,…,k−1。
- 得到新序列上函数
在这个新序列上再完成约瑟夫环操作，最后剩下的数字应该是关于 n n n 和 m m m 的函数，即也可以用 f ( n , m ) f(n, m) f(n,m) 进行表示。但由于现在的这个序列的排列（从 k + 1 k + 1 k+1 开始）和最初的序列（从 0 开始）不一样，因此这个时候的函数已经不同于最初的函数，记为 h ( n − 1 , m ) h(n - 1, m) h(n−1,m)，此函数的定义：在 k + 1 , … , n − 1 , 0 , 1 , … , k − 1 k + 1, …, n - 1, 0, 1, …, k - 1 k+1,…,n−1,0,1,…,k−1 这 n − 1 n - 1 n−1个数字的序列上做约瑟夫环操作，最后剩下的这个数字。
- 求解新函数
由于 在最初序列上 和 在新序列上 完成约瑟夫操作剩下的数字均为同一个数字，所以有 f ( n , m ) = h ( n − 1 , m ) f(n, m) = h(n - 1, m) f(n,m)=h(n−1,m)。（新序列是从最初序列转化的，会最终转化到同一个数字）
下面的工作就是求解新函数 h ( n − 1 , m ) h(n - 1, m) h(n−1,m) ，使其能够用 f ( n − 1 , m ) f(n - 1, m) f(n−1,m) 表示出来。
由于 f ( n − 1 , m ) f(n - 1, m) f(n−1,m) 是定义在以 0 为开始的序列上的，所以我们把剩下的这 n − 1 n - 1 n−1 个数字的序列 k + 1 , … , n − 1 , 0 , 1 , … , k − 1 k + 1, …, n - 1, 0, 1, …, k - 1 k+1,…,n−1,0,1,…,k−1 进行映射，映射到结果是形成一个 0 , . . , n − 2 0, .. , n - 2 0,..,n−2 的序列。
-
k + 1 → 0 k + 1 → 0 k+1→0
k + 2 → 1 k + 2→ 1 k+2→1
…
n − 1 → n − k − 2 n - 1 → n - k -2 n−1→n−k−2
0 → n − k − 1 0 → n - k - 1 0→n−k−1
1 → n − k 1 → n - k 1→n−k
…
k − 1 → n − 2 k - 1 → n - 2 k−1→n−2
该映射函数是个一元一次函数，定义为 p ( x ) p(x) p(x)，则 p ( x ) = ( x + n − k − 1 ) % n p(x) = (x + n - k - 1) \% n p(x)=(x+n−k−1)%n。（还记得初中的 y = x + a y = x + a y=x+a 怎么求么？如果不懂见附录1）
从左到右的映射是 p ( x ) p(x) p(x)，从右到左的映射叫做逆映射 p − 1 ( x ) = ( x + k + 1 ) % n p^{-1}( x) = (x + k + 1) \% n p−1(x)=(x+k+1)%n。（该逆映射的求法见本章结尾附录2）
由于映射之后的序列和最初的序列有同样的形式，即都是从 0 开始的连续序列，因此在映射之后的序列上做约瑟夫环操作的结果仍可以用函数 f f f 表示，记为 f ( n − 1 , m ) f(n - 1, m) f(n−1,m)。
在映射之前的序列上的约瑟夫环操作的结果是 h ( n − 1 , m ) h(n - 1, m) h(n−1,m)，在映射之后的序列上的约瑟夫环操作的结果是 f ( n − 1 , m ) f(n - 1, m) f(n−1,m)，则 f ( n − 1 , m ) = p ( h ( n − 1 , m ) ) f(n - 1, m) = p( h(n - 1, m) ) f(n−1,m)=p(h(n−1,m))。
所以有：
h ( n − 1 , m ) = p − 1 ( x ) ( f ( n − 1 , m ) ) = [ f ( n − 1 , m ) + k + 1 ] % n h(n - 1, m) = p^{-1}(x)( f(n - 1, m) ) = [ f(n - 1, m) + k + 1] \% n h(n−1,m)=p−1(x)(f(n−1,m))=[f(n−1,m)+k+1]%n
把 k = ( m − 1 ) % n k = (m - 1) \% n k=(m−1)%n 代入得到：（ k k k 中有取余运算，为什么代入之后没有了？见本章结尾附录3）
f ( n , m ) = h ( n − 1 , m ) = [ f ( n − 1 , m ) + m ] % n f(n, m) = h(n - 1, m) = [ f(n - 1, m) + m ] \% n f(n,m)=h(n−1,m)=[f(n−1,m)+m]%n
终于，经过复杂的分析，我们找到了一个只包含有 f f f 函数的递推公式。要得到 n n n 个数字的序列中完成约瑟夫环操作最后剩下的数字，只需要得到 n − 1 n - 1 n−1 个数字的序列中最后剩下的数字，并以此类推。（像不像递归？）
当 n = 1 n = 1 n=1 时，也就是序列中只有 1 个数字 0，那么完成约瑟夫操作最后剩下的数字就是0。（像不像递归终止条件？）
我们把这种关系表示为：
f
(
x
)
=
{
0
n
=
1
[
f
(
n
−
1
,
m
)
+
m
]
%
n
n
>
1
f(x)= \begin{cases} 0 & n = 1\\ \left[f(n - 1, m) + m\right]\% n & n>1 \end{cases}
f(x)={0[f(n−1,m)+m]%nn=1n>1
这个公式无论是递归还是循环都很好实现。
附录0. 模运算的物理含义
附录1. p ( x ) p(x) p(x)的推导
看到这里的同学肯定好奇公式中的%号是怎么得到的，其实是个分段函数归纳的。
p
(
x
)
=
{
x
−
k
−
1
k
+
1
≤
x
≤
n
−
1
x
+
n
−
k
−
1
0
≤
x
≤
k
−
1
p(x)= \begin{cases} x - k - 1 & k + 1 \leq x \leq n - 1\\ x + n - k - 1 & 0 \leq x \leq k - 1 \end{cases}
p(x)={x−k−1x+n−k−1k+1≤x≤n−10≤x≤k−1
所以，为了把分段函数统一，使用
p
(
x
)
=
(
x
+
n
−
k
−
1
)
%
n
p(x) = (x + n - k - 1) \% n
p(x)=(x+n−k−1)%n。
附录2. p − 1 ( x ) p^{-1}(x) p−1(x)的推导
已知 p ( x ) = ( x + n − k − 1 ) % n p(x) = (x + n - k - 1) \% n p(x)=(x+n−k−1)%n，求 p − 1 ( x ) p^{-1}(x) p−1(x)。
p ( x ) = ( x + n − k − 1 ) % n = ( x + n − k − 1 ) + ( T − 1 ) n = x − k − 1 + T n p(x) = (x + n - k - 1) \% n = (x + n - k - 1) + (T - 1)n = x - k - 1 + Tn p(x)=(x+n−k−1)%n=(x+n−k−1)+(T−1)n=x−k−1+Tn
其中引入的正整数 T 的取值方法：取合适的 T 以保证 0 < = p ( x ) < = n 0 <= p(x) <= n 0<=p(x)<=n。（这一步不懂的可以用 p ( 0 ) = n − k − 1 p(0) = n - k -1 p(0)=n−k−1 代入，此时 x = 0 , T = 1 x = 0, T = 1 x=0,T=1）
可以得到 x = p ( x ) + k + 1 − T n x = p(x) + k + 1 - Tn x=p(x)+k+1−Tn，逆函数就是把 x 替换成 p ( x ) p(x) p(x)，把 p ( x ) p(x) p(x) 替换成 x。
所以逆函数 p − 1 ( x ) = x + k + 1 − T n = ( x + k + 1 ) % n p^{-1}(x) = x + k + 1 - Tn = (x + k + 1) \% n p−1(x)=x+k+1−Tn=(x+k+1)%n。
附录3. 消除括号里的模运算
模运算的四则规则： ( a + b ) % p = ( a % p + b % p ) % p (a + b) \% p = (a \% p + b \% p) \% p (a+b)%p=(a%p+b%p)%p，选自百度百科。
证明 [ f ( n − 1 , m ) + ( m − 1 ) % n + 1 ] % n = [ f ( n − 1 , m ) + m ] % n [ f(n - 1, m) + (m - 1) \% n + 1] \% n = [ f(n - 1, m) + m ] \% n [f(n−1,m)+(m−1)%n+1]%n=[f(n−1,m)+m]%n .
左边 = [ f ( n − 1 , m ) + ( m − 1 ) % n + 1 ] % n [ f(n - 1, m) + (m - 1) \% n + 1] \% n [f(n−1,m)+(m−1)%n+1]%n
-
= [ ( f ( n − 1 , m ) + 1 ) % n + ( m − 1 ) % n ] % n [ (f(n - 1, m) + 1) \% n + (m - 1) \% n] \% n [(f(n−1,m)+1)%n+(m−1)%n]%n ，由于 0 < 映 射 后 的 取 值 f ( n − 1 , m ) < n − 2 0 < 映射后的取值 f(n - 1, m) < n - 2 0<映射后的取值f(n−1,m)<n−2，所以 1 < f ( n − 1 , m ) + 1 < n − 1 1 < f(n - 1, m) + 1< n - 1 1<f(n−1,m)+1<n−1，所以可以添加第一个取余运算。
= [ ( f ( n − 1 , m ) + 1 ) + ( m − 1 ) ] % n [ (f(n - 1, m) + 1) + (m - 1) ] \% n [(f(n−1,m)+1)+(m−1)]%n ，运用四则运算公式
= [ f ( n − 1 , m ) + m ] % n [ f(n - 1, m) + m ] \% n [f(n−1,m)+m]%n
= 右边
得证。
代码
p o s = 0 pos = 0 pos=0 开始，代表了最后结果只剩下了 1 个数字，这个数字处于第 0 个位置。
循环从数组长度有 2 个开始，即从剩下了两个数字开始计算。
循环到数组中剩下 n n n 个人结束，即到达了题目要求的那么多数字，此时的 p o s pos pos 就是最后剩下的那个数字的在 n n n 个数字中位置。
Python 代码如下：
class Solution:
def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
pos = 0
for i in range(2, n + 1):
pos = (pos + m) % i
return pos
- 注：本数学推导基于《剑指Offer》中的推导进行了更详细的讲解。
参考文献：
- 《剑指Offer》
- 力扣（LeetCode）链接：https://leetcode-cn.com/problems/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-lcof
- https://leetcode-cn.com/problems/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-lcof/solution/javajie-jue-yue-se-fu-huan-wen-ti-gao-su-ni-wei-sh/
