浅谈分层图
浅谈分层图
本篇随笔简单讲解一下图论中的分层图问题。
一、分层图的概念
分层图，顾名思义就是分很多层的图。也就是类似二维数组，抽象地理解：不再是一个单一的平面图而是一个立体化的东西，不只有长宽，也有了自己的厚度——即为层数。
二、分层图的应用
建立 多层 相同或相似的 图, 并在图与图之间进行连边，可以实现 两种性质的图 之间的 转移。或是 图与图 之间 有限制的转移。
用一道例题来理解一下：
约翰一共有 NN 个牧场.由 MM 条布满尘埃的小径连接。小径可以双向通行。每天早上约翰从牧场 11 出发到牧场 NN 去给奶牛检查身体。
通过每条小径都需要消耗一定的时间。约翰打算升级其中 KK 条小径，使之成为高速公路。在高速公路上的通行几乎是瞬间完成的，所以高速公路的通行时间为 00。
请帮助约翰决定对哪些小径进行升级，使他每天从 11 号牧场到第 NN 号牧场所花的时间最短。
在这道题中，会有一些边可以免费，我们考虑DP，但是发现并没有一个无后效性的转移方式。所以我们只能想其他的方式：建分层图。
三、分层图的实现原理
建分层图感性来讲，就是：这种DP不是有后效性么？怎么变成无后效性的呢？直接每个状态我都来一张图！
假设免费建立k条边，所以就可以有k层图表示已经免费建立了1条边到免费建立了k条边 。注意，0层图也就是原图也是要建立的。
在连接每两个点的同时，将复制出来的另外k个图上对应的两个点连接起来。也将i图和j图上的对应的点连接起来。也就是让这条边权值为零的情况 。
所以就可以直接在上面跑最短路解决了。
