洛谷U140357 Seaway连续
洛谷U140357 Seaway连续
题目背景
SeawaySeawa**y最近正在学习数学的实分析。这一天，他了解到实分析中的这样一种定义：对于在实数集的子集的函数f:D\subseteq \R \rightarrow \Rf:D⊆R→R ，若存在常数KK，使得|f(a)-f(b)|\le K\times|a-b|,\forall a,b\in D∣f(a)−f(b)∣≤K×∣a−b∣,∀a,b∈D ，则称ff符合利普希茨条件(Lipshitz Continuous)，对于ff最小的常数KK称为ff的利普希茨常数(Lipshitz number)。
题目描述
SeawaySeawa**y马上对于利普希茨条件产生了极大的兴趣，并对其潜心研究。他觉得LipshitzLipshit**z条件在实分析数学中的确有着非常广泛的意义。但是，同样地，其定义域的广度也造成了它具备一定的困难度。现在，SeawaySeawa**y着手对利普希茨条件进行了合理简化，产生了SeawaySeawa**y连续(Seaway Continuous)。其定义如下：
对于一个由正整数构成的序列v[1...n]v[1...n]，定义其SeawaySeawa**y连续S(v)S(v)为：对于任意整数i,j\in[1,n]i,j∈[1,n]，满足|v[j]-v[i]|\le K\times |j-i|∣v[j]−v[i]∣≤K×∣j−i∣的最小非负整数KK。
现在，给出一个长度为nn的序列v[1...n]v[1...n]和qq个询问，对于每个询问[l,r][l,r]，请你求出：v[l...r]v[l...r]的所有子序列的SeawaySeawa**y连续值之和。
输入格式
从文件continuous.incontinuou**s.i**n中读入数据。
第一行两个整数n,qn,q，表示序列长度和询问个数。第二行nn个数，描述vv序列。接下来的qq行，每行两个整数l,rl,r，表示每个询问区间为[l,r][l,r]。
输出格式
输出到文件continuous.outcontinuou**s.out中。
对于每个询问，输出一行一个数ansans，表示v[l...r]v[l...r]的所有子序列的SeawaySeawa**y连续之和。
命题背景：
其实这题出出来就是奔着挨揍去的。怎么看这题都不应该放T1。
但是我就是放了。咋的吧。
为了防止学弟爆破，出这道题的题面让我煞费苦心。原本的Lipshitz不敢写，因为一写就被爆了。但是我充分发挥了中国人的聪明才智，变成了：利氏。
嘿嘿。
所以这题就变成了现在这个样子。我觉得它的思维难度完全可以评紫。但是既然大家都说比较蓝，那还是比较蓝吧。
题解：
u1s1，这题看起来就很搞人心态。
上来一堆数学定义，然后又是最小又是连续，又是所有子序列都要枚举到。乖乖，暴力分都不好给啊。
但是我还是想出来怎么给暴力了的。
20分纯暴力枚举，n=10随便过。然后n=100,q=10的20分，暴力枚举应该也可以过，可能需要卡卡常。
然后n=1000和n=10000的部分分是给贪心的，也就是不用暴力枚举，加个贪心来剪枝。于此同时，加数据结构比如线段树来维护，当然因为无修所以其他的数据结构也可以，大家开心就好。
感觉部分分给的还是很多的，而且这道题冷静下来想其实也不是特别难。
正解：数学推导+单调栈维护。
其实这个\(Lipshitz\)值是啥啊，就是这个东西呀：
其中，\(i,j\)要遍历所有位置。
这个是啥啊，这个不就是这个散点型函数的斜率么！
于是我们对一个区间进行子区间枚举，并且在子区间再暴力枚举\(i,j\)。就可以暴力地得到这个东西。时间复杂度为\(O(qn^4)\)。可以通过20pts（真是良心出题人）。
然后思考优化。发现可以剪枝呀！
不用枚举那么多，可以证明的一个贪心是：对于任意三个点来讲，其最大斜率绝对不可能出现在一号点和三号点之间，而只会出现在1、2，或2、3之间。
于是先预处理出所有的\(h[i+1]-h[i]\)，然后架一棵线段树求区间max，可以把一重\(n^2\)优化成\(\log n\)。复杂度为\(O(qn^2\log n)\)。可以通过60pts。
还能不能更优秀呢？能，可以换种思路，把问题变成：询问区间中有多少子区间是以\(a[i]\)做最大值的（\(a[i]=|h[i+1]-h[i]|\)）
发现这个可以用单调栈维护出左右第一个大于它的。设左右分别为\(l,r\)，那么最后每个\(a[i]\)对答案的贡献就是，这个点到左的距离*这个点到右的距离 *这个点的权值.
于是我们只需要每次扫一遍即可。
时间复杂度\(O(n+qn)\)。
可以得满分。
代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define lll long long
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
int n,q;
int h[maxn],a[maxn];
int st[maxn],top;
int cnt[maxn];
lll query(int l,int r)
{
lll ret=0;
top=0;
st[0]=l-1;
for(int i=l;i<r;i++)
{
while(top && a[i]>a[st[top]])
{
ret+=(1ll*cnt[top]*a[st[top]]*(i-st[top]));
top--;
}
st[++top]=i;
cnt[top]=i-st[top-1];
}
while(top)
{
ret+=(1ll*cnt[top]*a[st[top]]*(r-st[top]));
top--;
}
return ret;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&q);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&h[i]);
for(int i=1;i<n;i++)
a[i]=abs(h[i+1]-h[i]);
for(int i=1;i<=q;i++)
{
int ll,rr;
scanf("%d%d",&ll,&rr);
printf("%lld\n",query(ll,rr));
}
return 0;
}
