浅谈Lucas定理
浅谈Lucas定理
本篇随笔简单讲解一下数学知识部分的Lucas定理。
一、Lucas定理的概念及应用
听说过组合数取模么？
也就是求：
\[C_n^m\text{mod}\ p
\]
可以边乘边取模。但是有点慢。
Lucas定理就是解决这个问题的产物。
其内容是：（p为质数）
\[C_n^m=C_{n\text{mod}\ p}^{m\text{mod}\ p}\times C_{n\div p}^{m\div p}\quad (\text{mod}\ p)
\]
二、Lucas定理的理解与实现
实现的时候，只需要对这个东西继续递归调用Lucas定理即可。也就是，对于\(C_{n\div p}^{m\div p}\)继续调用，最后就会出现一个连乘。
于是我们发现，这个东西又除又模的，很像进制拆解。
没错。
也就是说，这个Lucas定理就相当于把\(n,m\)变成了\(p\)进制数，然后对\(p\)进制下的每一位都计算组合数，最后乘起来。
三、Lucas定理的证明
略。
