NOI 2001 反正切函数的应用
NOI 2001 反正切函数的应用
题目背景
反正切函数可展开成无穷级数，有如下公式
\arctan(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1) ^ n x ^ {2n + 1}}{2n + 1} ( 0 \le x \le 1 ) \tag{1}arctan(x)=n=0∑∞2n+1(−1)n**x2n+1(0≤x≤1)(1)
使用反正切函数计算 是一种常用的方法。例如，最简单的计算 的方法：
\begin{aligned} \pi & = 4 \arctan(1) \ & = 4(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \dots) \end{aligned} \tag{2}π=4arctan(1)=4(1−31+51−71+91−111+…)(2)
然而，这种方法的效率很低，但我们可以根据角度和的正切函数公式：
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha) \tan(\beta)} \tag{3}tan(α+β)=1−tan(α)tan(β)tan(α)+tan(β)(3)
通过简单的变换得到：
\arctan(p) + \arctan(q) = \arctan(\frac{p + q}{1 - p q}) \tag{4}arctan(p)+arctan(q)=arctan(1−pqp+q)(4)
利用这个公式，令 p = \frac{1}{2}, q = \frac{1}{3}p=21,q=31，则 \frac{p + q}{1 - p q} = 11−pqp+q=1，有
\arctan(\frac{1}{2}) + \arctan(\frac{1}{3}) = \arctan(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}) = \arctan(1)arctan(21)+arctan(31)=arctan(1−21⋅3121+31)=arctan(1)
题目描述
我们将公式 44 写成如下形式
\arctan(\frac{1}{a}) = \arctan(\frac{1}{b}) + \arctan(\frac{1}{c})arctan(a1)=arctan(b1)+arctan(c1)
其中 a, b, c \in \mathbb{N^+}a,b,c∈N+。
我们的问题是：对于每一个给定的 aa，求 b + cb+c 的值。我们保证对于任意的 aa 都存在整数解。如果有多个解，要求你给出 b + cb+c 最小的解。
输入格式
输入文件中只有一个正整数 aa。
输出格式
输出文件中只有一个整数，为 b + cb+c 的值。
题解：
题解推的好麻烦啊。
利用一个性质：\(a<b\le c\)。
然后可以推出来\(c=\frac{ab+1}{b-a}\)，所以b的枚举范围就确定了下来。
最后只要枚举到头就好。
代码：
#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;
int a,b,ans;
signed main()
{
scanf("%lld",&a);
for(b=a+1;b*(b-a)<=a*b+1;b++)
if((b*b+1ll)%(b-a)==0)
ans=(b*b+1ll)/(b-a);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
