详解点分治

详解点分治

本篇随笔讲解算法竞赛中的点分治淀粉质算法。

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一、点分治概述及应用

点分治是一种在树上进行路径静态统计的算法。

所谓树上的静态统计，并不是像树剖一样维护路径最值、路径和之类的统计。那样的话，这个算法的存在就没什么意义了。

来上道小题体会一下点分治的解决问题。

给定一棵有n个节点的带边权无根树。求长度不超过k的路径有多少条。

看懂了么？就是这种有限制的路径统计问题，非常适合用点分治解决。

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二、点分治的基本实现思路

点分治点分治，最终还是落回分治这个东西。分治是什么？其原理就是把原问题拆解成几个子问题，分别求解子问题之后再合并出原问题。那么点分治其实就是对一棵树进行拆开，分治。

那么用上面的问题作为引入。

显然，暴力的方式是枚举所有路径，然后判断是否合法。但是所有的路径都可以分两种情况：第一种，过根节点。第二种，不过根节点。

那么我们把根节点断掉，又形成了很多新子树，对于这些子树，仍然会对它们的路径分这两种情况......

可以看出，所有不过整棵树根节点的路径，必会在这种不断拆解形成新子树的过程中，过一遍根节点。

对其有感觉么？这就是递归的过程么。

于是点分治实现的大致思路就是：

1、任取一个点作为无根树根节点。

2、计算所有第一种路径。

3、将当前根节点断掉，递归计算下一层子树。步骤同上。

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三、点分治的时空复杂度分析

点分治过程中，分治点的选择至关重要。

一个递归层的时间复杂度是\(O(n\log n)\)

极端情况下，树会退化成链，那么对于链，我们最不划算的选择分治点方式是每次选择链头，那么就会变成递归n次，总复杂度是\(O(n^2\log n)\)。

那么我们每次选择链的中心呢？

很简单，递归变成了log次，总复杂度就是\(O(n\log^2 n)\)。

那么，对于链是这样选择，对于树也是这样选择。选”中点“当然是最划算的。那么树的“中点”是什么呢？

即，树的重心。

重心有一个性质：那就是删除重心后，树被拆成若干个部分，这些部分中，不会有任何一个部分超过总点数的二分之一。否则就不符合重心的性质。

所以，每次选择重心作为分治点，就保证了整个点分治算法的时间是\(O(n\log^2 n)\)

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四、点分治的代码实现

根据第二部分的思路概述，我们应该很容易用递归方式写出其框架代码：

void dfz(int x)//大多数人叫divide，我就喜欢这样
{
	v[x]=1;//避免重复选择绕死
    calc();//注意！点分治的精华！
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(v[y])
        	continue;
       	sum=size[y],root=0;//找子树重心的前置信息
        getroot(y,0);//这波是找子树重心
        dfz(root);//套娃递归
    }
}

其中的getroot函数，功能是找子树重心。根据重心的定义及之前学过的求法，应该这么写：

void getroot(int x,int f)
{
	size[x]=1,mp[x]=0;
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(y==f||v[y])
            continue;
        getroot(y,x);
        size[x]+=size[y];
        mp[x]=max(mp[x],size[y]);
    }
    mp[x]=max(mp[x],sum-size[y]);
    if(mp[x]<mp[root])
        root=x;
}

只有这两个能算作模板化的东西。

然而点分治的精华，calc函数部分，需要按题目的意思来求。其功能就是维护题目想要维护的信息。

这个就需要自己通过例题和练习细细体会。