洛谷 P3979 遥远的国度
洛谷 P3979 遥远的国度
题目描述
zcwwzdjn 在追杀 zhx ，而 zhx 逃入了一个遥远的国度。当 zcwwzdjn 准备进入遥远的国度继续追杀时，守护神 RapiD 阻拦了 zcwwzdjn 的去路，他需要 zcwwzdjn 完成任务后才能进入遥远的国度继续追杀。
问题是这样的：遥远的国度有 nn 个城市，这些城市之间由一些路连接且这些城市构成了一颗树。这个国度有一个首都，我们可以把这个首都看做整棵树的根，但遥远的国度比较奇怪，首都是随时有可能变为另外一个城市的。遥远的国度的每个城市有一个防御值，第 ii 个的防御值为 val_ival**i，有些时候 RapiD 会使得某两个城市之间的路径上的所有城市的防御值都变为某个值。
RapiD 想知道在某个时候，如果把首都看做整棵树的根的话，那么以某个城市为根的子树的所有城市的防御值最小是多少。
由于 RapiD 无法解决这个问题，所以他拦住了 zcwwzdjn 希望他能帮忙。但 zcwwzdjn 还要追杀 zhx，所以这个重大的问题就被转交到了你的手上。
输入格式
第 11 行两个整数 n\ mn m，代表城市个数和操作数。
第 22 行至第 nn 行，每行两个整数 u\ vu v，代表城市 uu 和城市 vv 之间有一条路。
第 n+1n+1 行，有 nn 个整数，第 ii 个代表第 ii 个点的初始防御值 val_ival**i。
第 n+2n+2 行一个整数 idi**d，代表初始的首都为 idi**d。
第 n+3n+3 行至第 n+m+2n+m+2 行，首先有一个整数 optopt。
如果 opt=1opt=1，接下来有一个整数 idi**d，代表把首都修改为 idi**d；
如果 opt=2opt=2，接下来有三个整数 x\ y\ vx y v，代表将 x\ yx y 路径上的所有城市的防御值修改为 vv；
如果 opt=3opt=3，接下来有一个整数 idi**d，代表询问以城市 idi**d 为根的子树中的最小防御值。
输出格式
对于每个 opt=3opt=3 的操作，输出一行代表对应子树的最小点权值。
题解：
前置知识，树链剖分。
附上讲解链接：
学习完树链剖分我们可以完美地解决链上修改操作和子树查询操作。
就是这个换根，真的烦人。
思考换根的处理方法：
如果每次暴力重构树，重新进行树链剖分的话，显然不行。这个复杂度只能支持我们进行一次树链剖分的预处理。那么我们只能考虑如何用一次预处理，只在查询上下些功夫，来解决掉这个换根问题。
通过换根DP的启发，我们可以发现，探究性质是一个不错的选择。
随便手画几个图。发现，改完根之后，对于大多数节点的答案是没有影响的。
所以想到分类讨论：什么情况下对答案没有影响，什么情况下对答案有影响。
-
情况1：询问点
idx与当前根now重合。此时即为全局最小值。 -
情况2：询问点与当前根离得很远，不在一条链上，或者从1到
now不包括询问点idx。此时对答案不影响，直接树剖询问子树输出即可。 -
情况3：询问点在1到
now的链上，此时对答案有影响。
于是我们考虑有什么影响。随便手画图可以看出，这时询问点的答案只不包括询问点到当前根这整条路径（一直到底）这部分。所以我们可以求两个最小值，再求一次最小。类似于容斥原理的思想。
所以有代码：
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define lson pos<<1
#define rson pos<<1|1
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int INF=2147483647;
int n,m;
int tot,to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],head[maxn],a[maxn];
int size[maxn],deep[maxn],fa[maxn],son[maxn],top[maxn],id[maxn],cnt,w[maxn];
int tree[maxn<<2],lazy[maxn<<2];
int now;
int tmp;
bool flag;
void add(int x,int y)
{
to[++tot]=y;
nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
void dfs1(int x,int f)
{
deep[x]=deep[f]+1;
fa[x]=f;
size[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int y=to[i];
if(y==f)
continue;
dfs1(y,x);
size[x]+=size[y];
if(!son[x]||size[y]>size[son[x]])
son[x]=y;
}
}
void dfs2(int x,int t)
{
top[x]=t;
id[x]=++cnt;
w[cnt]=a[x];
if(!son[x])
return;
dfs2(son[x],t);
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int y=to[i];
if(y==fa[x]||y==son[x])
continue;
dfs2(y,y);
}
}
void build(int pos,int l,int r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(l==r)
{
tree[pos]=w[l];
return;
}
build(lson,l,mid);
build(rson,mid+1,r);
tree[pos]=min(tree[lson],tree[rson]);
}
void mark(int pos,int l,int r,int k)
{
tree[pos]=k;
lazy[pos]=k;
}
void pushdown(int pos,int l,int r)
{
int mid=(l+r)>>1;
mark(lson,l,mid,lazy[pos]);
mark(rson,mid+1,r,lazy[pos]);
lazy[pos]=0;
}
void update(int pos,int l,int r,int x,int y,int k)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=l && r<=y)
{
mark(pos,l,r,k);
return;
}
if(lazy[pos])
pushdown(pos,l,r);
if(x<=mid)
update(lson,l,mid,x,y,k);
if(y>mid)
update(rson,mid+1,r,x,y,k);
tree[pos]=min(tree[lson],tree[rson]);
}
void upd_chain(int x,int y,int k)
{
while(top[x]!=top[y])
{
if(deep[top[x]]<deep[top[y]])
swap(x,y);
update(1,1,n,id[top[x]],id[x],k);
x=fa[top[x]];
}
if(deep[x]<deep[y])
swap(x,y);
update(1,1,n,id[y],id[x],k);
}
int goal(int x,int y)
{
while(top[x]!=top[y])
{
if(deep[top[x]]<deep[top[y]])
swap(x,y);
if(fa[top[x]]==y)
return top[x];
x=fa[top[x]];
}
if(deep[x]>deep[y])
swap(x,y);
return son[x];
}
int query(int pos,int l,int r,int x,int y)
{
int ret=INF;
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=l && r<=y)
return tree[pos];
if(lazy[pos])
pushdown(pos,l,r);
if(x<=mid)
ret=min(ret,query(lson,l,mid,x,y));
if(y>mid)
ret=min(ret,query(rson,mid+1,r,x,y));
return ret;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<n;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
add(y,x);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
dfs1(1,0);
dfs2(1,1);
build(1,1,n);
scanf("%d",&now);
while(m--)
{
int opt,idx,x,y,v;
scanf("%d",&opt);
if(opt==1)
{
scanf("%d",&idx);
now=idx;
}
else if(opt==2)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&v);
upd_chain(x,y,v);
}
else
{
scanf("%d",&idx);
if(idx==now)
printf("%d\n",tree[1]);
else if(deep[idx]<deep[now]&&fa[tmp=goal(idx,now)]==idx)
{
int a,b,c;
a=query(1,1,n,1,id[tmp]-1);
b=query(1,1,n,id[tmp]+size[tmp],n);
printf("%d\n",min(a,b));
}
else
printf("%d\n",query(1,1,n,id[idx],id[idx]+size[idx]-1));
}
}
return 0;
}
