浅谈卡特兰数
浅谈卡特兰数
本篇随笔浅谈一下数学中的卡特兰数。
卡特兰数博大精深，由于博主时间、精力、水平都非常非常有限，所以只挑干货讲。
引入：
给定\(n\)个0，\(n\)个1，按某种顺序排成长度为\(2n\)的序列，求满足任意前缀中0的个数不少于1的个数的序列的数量。
答案即卡特兰数。
设第\(i\)项卡特兰数为\(Cat_i\)，其通项公式为：
\[Cat_n=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}
\]
常用的卡特兰数公式
抄公式啦！
\[Cat_n=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}
\]
\[Cat_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}
\]
\[Cat_n=\sum_{i=0}^{n-1}Cat_i\times Cat_{n-1-i}
\]
\[Cat_n=Cat_{n-1}\times \frac{4n-2}{n+1}
\]
卡特兰数的一些常见应用
比如引入。
\(n\)个0，\(n\)个1，组成的\(2n\)的序列，对于每个前缀都有0的个数不小于1的个数的序列个数。
同理，括号匹配也可以用这个东西。就把0变成左括号，1变成右括号即可。
也就是，\(n\)个左右括号组成的合法括号序列数量为\(Cat_n\)。
1-n经过一个栈，形成的合法出栈序列数量为\(Cat_n\)。
n个节点构成的不同二叉树数量为\(Cat_n\)。
在平面直角坐标系中，每一步只能向上走或者向右走，从\((0,0)\)走到\((n,m)\)并且除了两个端点外不接触\(y=x\)的路线数量为\(2Cat_{n-1}\)。
