SDOI 2014 旅行
SDOI 2014 旅行
Description
S国有N个城市，编号从1到N。城市间用N-1条双向道路连接，满足从一个城市出发可以到达其它所有城市。每个城市信仰不同的宗教，如飞天面条神教、隐形独角兽教、绝地教都是常见的信仰。为了方便，我们用不同的正整数代表各种宗教。
S国的居民常常旅行。旅行时他们总会走最短路，并且为了避免麻烦，只在信仰和他们相同的城市留宿。当然旅程的终点也是信仰与他相同的城市。S国政府为每个城市标定了不同的旅行评级，旅行者们常会记下途中（包括起点和终点）留宿过的城市的评级总和或最大值。
在S国的历史上常会发生以下几种事件：
• "CC x c"：城市x的居民全体改信了c教；
• "CW x w"：城市x的评级调整为w；
• "QS x y"：一位旅行者从城市x出发，到城市y，并记下了途中留宿过的城市的评级总和；
• "QM x y"：一位旅行者从城市x出发，到城市y，并记下了途中留宿过的城市的评级最大值。
由于年代久远，旅行者记下的数字已经遗失了，但记录开始之前每座城市的信仰与评级，还有事件记录本身是完好的。请根据这些信息，还原旅行者记下的数字。
为了方便，我们认为事件之间的间隔足够长，以致在任意一次旅行中，所有城市的评级和信仰保持不变。
Input
输入的第一行包含整数N,Q，依次表示城市数和事件数。
接下来N行，第i+1行两个整数Wi,Ci依次表示记录开始之前，城市i的评级和信仰。
接下来N-1行每行两个整数x,y表示一条双向道路。
接下来Q行，每行一个操作，格式如上所述。
Output
对每个QS和QM事件，输出一行，表示旅行者记下的数字。
Sample Input
5 6 3 1 2 3 1 2 3 3 5 1 1 2 1 3 3 4 3 5 QS 1 5 CC 3 1 QS 1 5 CW 3 3 QS 1 5 QM 2 4
Sample Output
8 9 11 3
HINT
下表中C表示宗教总数。
| 测试点 | N,Q | C | 其它约定 |
|---|---|---|---|
| 1-2 | N,Q<=103 | C<=102 | 无 |
| 3-4 | N,Q<=105 | C<=102 | S国的交通网是一条链；无CC操作 |
| 5 | N,Q<=105 | C<=102 | 无CC，QM操作 |
| 6-7 | N,Q<=105 | C<=102 | 无CC操作 |
| 8-9 | N,Q<=105 | C<=105 | S国的交通网是一条链 |
| 10-12 | N,Q<=105 | C<=10 | 无 |
| 13-16 | N,Q<=105 | C<=105 | 无QM操作 |
| 17-20 | N,Q<=105 | C<=105 | 无 |
数据保证对所有QS和QM事件，起点和终点城市的信仰相同；在任意时刻，城市的评级总是不大于104的正整数，且宗教值不大于C。
题解：
树链剖分+动态开点
如果树链剖分不会的话请走这边：
题意为给定一棵树，对树上节点赋值+染色。每次操作更改点权或更改颜色，每次询问求路径最大值或路径权值和。
首先简化问题，假如没有染色的话，这就是树剖的板子题：把树上节点用树链剖分来映射到一段区间上，然后通过维护线段树来解决问题。不懂的见树剖讲解。
之后考虑如何染色。暴力的想法是，开色数棵线段树，但是一看不行，因为色数是10^5的。于是本能想到优化空间的好帮手：动态开点。对想法进行验证，发现每次操作并不需要完全使用所有节点，所以动态开点是完全可行的，每次修改的时空复杂度是\(O(\log N)\)，可过。
注意一下，有些同学说这个叫主席树，但是其实这个并不是主席树。主席树的特点是多棵线段树有共用节点。但是这道题并没有这个共用的点，每棵线段树是完全相互独立的。所以它不是主席树。
于是我们得出了结论：这道题是动态开点+树剖的板子题。（逃
于是这道题的难点变成了代码实现。需要注意的有几个点：
因为是多棵线段树，所以要开一个数组root来记录每棵线段树的根是谁。
因为是动态开点，所以一开始不需要建全树，对每个点进行修改即可。
因为权值都为正，所以在变更宗教的时候不需要把原来宗教的节点删除，直接置零即可。
代码如下：
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#pragma GCC optimize(2)
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n,q;
int w[maxn],c[maxn];
int tot,to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],head[maxn];
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<48||ch>57){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (ch>=48&&ch<=57){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
return x*f;
}
void add(int x,int y)
{
to[++tot]=y;
nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
int cnt,fa[maxn],son[maxn],size[maxn],top[maxn],wa[maxn],id[maxn],deep[maxn];
int root[maxn],num;
struct node
{
int mx,sum,lson,rson;
}t[maxn*42];
void dfs1(int x,int f)
{
fa[x]=f;
deep[x]=deep[f]+1;
size[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int y=to[i];
if(y==f)
continue;
dfs1(y,x);
size[x]+=size[y];
if(!son[x]||size[y]>size[son[x]])
son[x]=y;
}
}
void dfs2(int x,int t)
{
id[x]=++cnt;
top[x]=t;
if(!son[x])
return;
dfs2(son[x],t);
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int y=to[i];
if(y==fa[x]||y==son[x])
continue;
dfs2(y,y);
}
}
void pushup(int pos)
{
t[pos].mx=max(t[t[pos].lson].mx,t[t[pos].rson].mx);
t[pos].sum=t[t[pos].lson].sum+t[t[pos].rson].sum;
}
void update(int &pos,int l,int r,int x,int k)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(!pos)
pos=++num;
if(l==r)
{
t[pos].mx=t[pos].sum=k;
return;
}
if(x<=mid)
update(t[pos].lson,l,mid,x,k);
else
update(t[pos].rson,mid+1,r,x,k);
pushup(pos);
}
int query1(int pos,int l,int r,int x,int y)
{
int ret=0;
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=l && r<=y)
return t[pos].sum;
if(x<=mid)
ret+=query1(t[pos].lson,l,mid,x,y);
if(y>mid)
ret+=query1(t[pos].rson,mid+1,r,x,y);
return ret;
}
int query2(int pos,int l,int r,int x,int y)
{
int ret=-10000000;
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=l && r<=y)
return t[pos].mx;
if(x<=mid)
ret=max(ret,query2(t[pos].lson,l,mid,x,y));
if(y>mid)
ret=max(ret,query2(t[pos].rson,mid+1,r,x,y));
return ret;
}
int q1(int x,int y,int k)
{
int ret=0;
while(top[x]!=top[y])
{
if(deep[top[x]]<deep[top[y]])
swap(x,y);
ret+=query1(root[k],1,n,id[top[x]],id[x]);
x=fa[top[x]];
}
if(deep[x]<deep[y])
swap(x,y);
ret+=query1(root[k],1,n,id[y],id[x]);
return ret;
}
int q2(int x,int y,int k)
{
int ret=-10000000;
while(top[x]!=top[y])
{
if(deep[top[x]]<deep[top[y]])
swap(x,y);
ret=max(ret,query2(root[k],1,n,id[top[x]],id[x]));
x=fa[top[x]];
}
if(deep[x]<deep[y])
swap(x,y);
ret=max(ret,query2(root[k],1,n,id[y],id[x]));
return ret;
}
int main()
{
n=read();q=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
w[i]=read(),c[i]=read();
for(int i=1;i<n;i++)
{
int a,b;
a=read();b=read();
add(a,b);
add(b,a);
}
dfs1(1,0);
dfs2(1,1);
for(int i=1;i<=n;i++)
update(root[c[i]],1,n,id[i],w[i]);
while(q--)
{
char opt[5];
int x,y;
scanf("%s",opt);
x=read();y=read();
if(opt[1]=='C')
{
update(root[c[x]],1,n,id[x],0);
c[x]=y;
update(root[c[x]],1,n,id[x],w[x]);
}
else if(opt[1]=='W')
{
update(root[c[x]],1,n,id[x],y);
w[x]=y;
}
else if(opt[1]=='S')
printf("%d\n",q1(x,y,c[x]));
else
printf("%d\n",q2(x,y,c[x]));
}
return 0;
}
