重谈并查集
重谈并查集
当初学并查集的时候记得是森哥讲的@zcs0724。但是没太学明白（是因为蒟蒻太菜，跟森哥没半毛钱关系），于是今天来重新捋一下并查集，顺便补个讲解。就叫重谈并查集吧。（没有爆粗）（滕总笑）
并查集的概念
并查集(Disjoint-Set)是一种可以维护若干个不重叠的集合，并支持集合合并与查找的数据结构。
（来自李煜东《算法竞赛进阶指南》）
简单来讲，就是一个支持两个集合合并，支持查询一个元素在哪个集合里的数据结构。也就是有合并和查找两种操作。
并查集的实现思路
刚刚提到的并查集的基本概念是建立在“集合”这个定义上的。那么，我们肯定要选择一种方法来把集合表示出来。可以看出的是，如果对集合从1开始进行编号，那么最终的效率应该是很低的，所以我们选择用一个代表元素来表示这个元素所在的整个集合。
那么，如果选择维护一个数组\(f[i]\)表示\(i\)元素所在集合的编号（也就是代表元素），在每次合并的时候需要大量修改\(f[i]\)，效率非常低。于是，我们继续思考，使用常见的数据结构：树来存储集合，令代表元素为树根。那么，一个并查集就是一个森林，一棵树就是一个集合。我们只需要维护\(fa[i]\)表示这个节点的父亲，特别的，令树根的父亲为他自己。那么，在我们查询的时候，就可以一直递归查到根节点，即为答案。合并的时候，直接令一棵树的树根为另一棵树的树根的子节点即可。
但是递归就很慢。
怎么办呢？
路径压缩
刚刚提到过，我们的并查集已经优化到通过维护树来维护集合。但是在查询的时候，这样的最坏复杂度是\(O(N)\)级别的。所以我们要考虑如何对其进行优化。
思考优化其实就是在思考如何把最坏状况变成最好状况。很容易看出，这棵树的最好状况是只有两层，也就是所有节点要么是根节点，要么是它的儿子。
灵光一闪：那么，如果我们在每次查询的时候，都把路径上经过的所有节点都直接指向根节点呢？是不是在之后的查询中就快很多了？复杂度是均摊\(O(\log N)\)的。
启发式合并
关于启发式合并，是多种数据结构合并时的一种思想，具体的蒟蒻有专门随笔讲解：
并查集的代码实现
在这里给出带注释的路径压缩并查集的代码实现：
int find(int x)
{
if(x==fa[x])
return x;//如果查到根节点
fa[x]=find(fa[x]);//过程中路径压缩
}
int find(int x)
{
return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);//以上代码的简化
}
void merge(int x,int y)//合并x,y元素所在的集合
{
int fx=find(x);
int fy=find(y);//先查
fa[fx]=fy;//直接合并
}
