区间反转问题
区间反转问题
本篇随笔浅谈一下算法竞赛中的区间反转问题。
例题 洛谷 P3391 【模板】文艺平衡树
题目描述
您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一个有序数列。
其中需要提供以下操作：翻转一个区间，例如原有序序列是 5\ 4\ 3\ 2\ 15 4 3 2 1，翻转区间是 [2,4][2,4] 的话，结果是 5\ 2\ 3\ 4\ 15 2 3 4 1。
输入格式
第一行两个正整数 n,mn,m，表示序列长度与操作个数。序列中第 ii 项初始为 ii。
接下来 mm 行，每行两个正整数 l,rl,r，表示翻转的区间。
输出格式
输出一行 nn 个正整数，表示原始序列经过 mm 次变换后的结果。
说明/提示
【数据范围】
对于 100%100% 的数据，1 \le n, m \leq 1000001≤n,m≤100000，1 \le l \le r \le n1≤l≤r≤n。
关于区间反转
对于反转一段区间的操作，我们好像怎么搞都是\(O(N)\)的。
然而对于这道题来讲，\(O(N)\)算法肯定是过不去的。
想要用更优秀的复杂度来做，怎么办呢？
用平衡树来升级，而且必须用Splay。
复杂度达到了均摊\(O(\log N)\)（证明别找我）。
这就已经很优秀了。
那么为什么平衡树的Splay算法能够用均摊\(O(\log N)\)的复杂度来实现区间反转呢？
现在我们用节点编号来建一棵BST。那么根据BST的性质，对于一个针对区间\([L,R]\)的反转操作，我们肯定需要把这个区间变到一个可以方便操作的位置。
那么我们考虑把节点\(L-1\)用旋转splay到根节点，把节点\(R+1\)用旋转splay到根节点的右儿子，根据BST性质，因为我们是使用节点编号建的BST，那么我们就发现：右儿子的左子树就是我们需要操作的区间。这个区间已经被唯一确定下来了。
然后因为我们是用节点编号建的BST，所以直接把每个节点的左右儿子交换就可以。
