浅谈动态开点线段树

浅谈动态开点线段树

本篇随笔简单讲解一下线段树的常见优化技巧——动态开点。

要学动态开点首先得会线段树，如果不会的话，看官请走这边——

简单线段树详解

权值线段树详解

动态开点的概念和功能

现在要让你维护一棵值域为\(10^9\)的权值线段树。

掐指一算，按线段树开的话，四倍空间是\(4\times10^9\)，空间必炸。

于是你开始怀疑这道题有问题，大骂出题人毒瘤

其实你只是不会动态开点。

所谓动态开点，就是用什么开什么。简单的说，就是建立一棵“残疾”的线段树，上面只有询问过的相关节点。从而节约了大量空间，让上面的\(10^9\)权值线段树成为可行。

其实看这个“动态开点”的名字就能隐约猜到这个概念和功能。

这样的话，我们最后的空间复杂度只与询问次数有关，也就是\(O(q\log N)\)。

动态开点的代码实现

先放代码，针对代码进行解释。

struct segment_tree
{
    int sum,lson,rson;
}tree[maxq<<2];
int tot;
void update(int &pos,int l,int r,int k)
{
    int mid=(l+r)>>1;
    if(!pos)
        pos=++tot;
   	if(l==r)
    {
        tree[pos].sum+=k;
        return;
    }
    if(x<=mid)
        update(tree[pos].lson,l,mid,k);
    if(y>mid)
        update(tree[pos].rson,mid+1,r,k);
    tree[pos].sum=tree[tree[pos].lson].sum+tree[tree[pos].rson].sum;
}
int main()
{
    int root=0;
    update(root,1,maxn,k);
    return 0;
}

大家会发现，这份代码较之原版的简单线段树并没有多大的差别，其中的精妙就在于节点编号的命名上。

原版线段树是一棵完整的二叉树，所以我们采取计算的方式来算出每个节点的左右儿子的编号，具体方式就是（这是条规律）：左节点：当前节点×2，右节点：当前节点×2+1。

但是我们动态开点就不一样了。因为是一棵残疾的树，如果我们用这种计算节点编号的方式，就根本没有用了。所以我们这里所有的节点编号，都是人为规定的，玄机就在这个计数变量：tot上。

如果当前去到的节点pos为0，那就说明这个节点没有被使用过，tot+1变成编号给这个节点，与此同时，因为是递归回溯结构，所以这个时候的lson和rson都是已经被确定下来的。（其实tot就是表示当前已经开了多少节点）

这样，我们就总结出了动态开点的玄妙之处：就是节点的编号和节点左右儿子的编号都是乱序的，是我们临到使用之时现加上去的。

嘱咐几句：这个参数变量pos前面的取址符&是不能省略的，因为这个编号是不随递归修改的定值。

简单线段树可以用数组存，但是动态开点的必须用结构体，因为lson和rson是人为规定的。

差不多就这样？

祝同志们AK IOI！