SCOI 2005 互不侵犯

洛谷 P1896 [SCOI2005]互不侵犯

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题目描述

在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

注：数据有加强（2018/4/25）

输入格式

只有一行，包含两个数N，K （ 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N）

输出格式

所得的方案数

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

题解：

原谅我一开始看到题还以为是爆搜。。。

其实是一道状态压缩的题目。

蒟蒻自己一个比较大的进步就是把自己状态设置对了...

设置：\(dp[i][j][k]\)为第\(i\)行状态为\(j\)、已经用了\(k\)个国王时的方案数。

状态压缩大体有这么几步：设置状态\(\rightarrow\)考虑转移方式\(\rightarrow\)按转移方式考虑预处理和判断转移条件\(\rightarrow\)开始转移\(\rightarrow\)统计答案。

那么我们设置好状态，开始考虑转移方式：我们发现，若是想从第\(i-1\)行开始转移，转移的条件一是当前和上一次的状态，但是，这些状态的改变必然还会改变国王的个数。也就是说，这数组的两维是有联系的，是自变量和因变量的关系。所以我们因此想到，既然是自变量和因变量的关系，我们莫不如由此构建一个映射，存下来每个状态和每个状态需要的国王人数。这样我们转移的时候就没啥问题了。

如何预处理呢？我们想到，我们需要按行处理状态，每个状态有放国王和不放国王两种选择。因为是预处理，我们是肯定不能用递推和\(DP\)的（你想干啥）

所以我们考虑搜索。

一次搜索可以处理出所有合法的行的方式。

这里插一嘴，因为我们已经把所有合法的行的方式都求出来了，所以我们没必要再把\(dp\)数组的第二维开那么大，构建好映射关系之后，直接用\(cnt\)代替这个二进制状态即可。（因为\(1-cnt\)的每个数都对应着一个数组\(s[i]\)作为状态。）

然后再转移的时候进行判断是否合法就可以。

转移方程：

\[dp[i][j][l]+=dp[i-1][k][l-num[j]] \]

这里的\(k,j\)分别表示一种状态。

代码：

#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;
int n,K,cnt,ans;
int s[100],num[100];
int dp[10][100][110];
//dp[i][j][k]表示前i-1行放完，第i行状态为j、有k个国王时的方案数
//状态0/1：0：国王攻击不到；1：被国王占领
void dfs(int pos,int st,int tot)
{
    if(pos>=n)
    {
        s[++cnt]=st;
        num[cnt]=tot;
        return;
    }
    dfs(pos+1,st,tot);
    dfs(pos+2,st+(1<<pos),tot+1);
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&K);
    dfs(0,0,0);
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        dp[1][i][num[i]]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
            for(int k=1;k<=cnt;k++)
            {
                if(s[j]&s[k])
                    continue;
                else if(s[j]&(s[k]>>1))
                    continue;
                else if(s[j]&(s[k]<<1))
                    continue;
                else
                    for(int l=num[j];l<=K;l++)
                        dp[i][j][l]+=dp[i-1][k][l-num[j]];
            }
    ans=0;
    for(int i=0;i<=cnt;i++)
        ans+=dp[n][i][K];
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}