详解扩展欧几里得算法（扩展GCD）
浅谈扩展欧几里得（扩展GCD）算法
本篇随笔讲解信息学奥林匹克竞赛中数论部分的扩展欧几里得算法。为了更好的阅读本篇随笔，读者最好拥有不低于初中二年级（这是经过慎重考虑所评定的等级）的数学素养。并且已经学会了学习这个算法的前置知识：欧几里得算法。
对于对欧几里得算法还有知识模糊的读者，请不要担心，这里为你准备了前导知识讲解，请移步至本蒟蒻的另两篇博客：
裴蜀定理
裴蜀定理的概念及证明
因为翻译版本的不同，这个定理可能还会被叫做贝祖定理、\(B\acute{e}zout\)定理等。
裴蜀定理是这样被描述的：
满足：
文字描述是这样的：对于任意的整数\(a,b\)，都存在一对整数\(x,y\)，使得\(ax+by=\gcd(a,b)\)成立。
证明：
来看欧几里得算法求解过程的这个函数：
int gcd(int a,int b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
可以看出，这是一个递归求解的函数。在函数递归到最后的时候，存在\(b=0\)，不管\(a\)是什么，这时显然有一对整数\(x=1,y=0\)来使得：
（ps:0和任何数的最大公约数都等于原数，可以从最大公约数和约数的定义得知）
那么，我们通过这个递归的实现过程来进行回溯的模拟。当\(b>0\)，则程序还可以继续往下走：\(\gcd(b,a\%b)=\gcd(a,b)\)。这时假设存在一对整数\(x,y\)，使得其一定会满足\(b\times x+(a\%b)\times y=\gcd(b,a\%b)\)， 因为\(a\%b=a-b\lfloor a/b\rfloor\)，所以有以下的推导：
这个时候令\(x^{'}=y,y^{'}=x-\lfloor a/b\rfloor y\)，再结合一开始的原式子，就得出：
因为欧几里得算法的实现是递归的，而我们已经推出其中一个递归过程的实现，那么其他的递归过程就可以借助数学归纳法，一层层地向上推，必然会得出最终结论。
证毕。
裴蜀定理的应用
裴蜀定理：
那么可以推出：如果一个数\(m\)满足：\(ax+by=m\)，那么这个\(m\)一定是\(\gcd(a,b)\)的倍数。
那么对于一个经典方程\(ax+by=1\)，利用裴蜀定理，我们有：\(\gcd(a,b)=1\)，即\(a,b\)一定互质。
扩展欧几里得算法
在介绍扩展欧几里得算法之前，我想首先介绍它的应用：
1、求解不定方程
2、求解模的逆元
3、求解线性同余方程
为什么它能应用到这几个方面呢？回到裴蜀定理：
对于这个不定方程，如果存在一组合法的解\((x,y)\)，那么一定会有\(\gcd(a,b)|m\)，即\(m\)是\(\gcd(a,b)\)的倍数。那么现在我不仅想知道到底有没有解，而是想知道在有解的情况下，这个解到底是多少。
这就是求解不定方程的过程。这个解决的算法就叫做扩展欧几里得算法。
可以发现，我们求解不定方程其实就是要求解一组合法的\((x,y)\)，那么根据裴蜀定理的证明（基于欧几里得算法，采用递归的数学归纳），可以发现\(x,y\)的互相推导的关系。
这种采取递归来求解\(x,y\)的方法就叫做扩展欧几里得算法。
扩展欧几里得算法的实现：
先放板子：
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
int d=exgcd(b,a%b,x,y);
int k=x;
x=y;
y=k-a/b*y;
return d;
}
扩展欧几里得算法的实现基于裴蜀定理的证明。实质上相当于在做欧几里得算法（普通GCD）的时候对不定方程\(ax+by=m\)的\(x,y\)也做了更改。所以经过扩展欧几里得算法处理过的\(x,y\)就已经是一组合法的可行解了。
这里需要注意一个细节，因为扩展GCD需要对\(x,y\)本身进行修改，所以需要在传参数的时候加取址符，这样能保证被修改。
