浅谈DFS序

浅谈DFS序

本篇随笔简要讲解一下信息学奥林匹克竞赛中有关树的DFS序的相关内容。

DFS序的概念

先来上张图：

树的DFS序列，也就是树的深搜序，它的概念是：树的每一个节点在深度优先遍历中进出栈的时间序列。

树的DFS序，简单来讲就是对树从根开始进行深搜，按搜到的时间顺序把所有节点排队。

就比如上面这棵树，它的一个DFS序就是：

1 4 6 6 3 9 9 3 4 7 7 2 5 5 8 8 2 1

注意两点：

首先，一棵树的DFS序不唯一。因为深搜的时候选择哪个子节点的顺序是不一样的。

其次，对于一棵树进行DFS序，需要把回溯的时候的节点编号也记录一下，这就是为什么每个数字在DFS序中会出现两遍的原因。

很容易发现的是，树的DFS序的长度是\(2N\)。

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求DFS序的代码实现

代码实现很简单，就是从根节点开始深搜，然后按顺序打标记就可以了。

在下面的代码中，\(id[]\)数组就是DFS序的数组，\(cnt\)就是计时变量，上传参数的\(f\)表示当前节点\(x\)的父亲。

#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n;
int tot,to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],head[maxn];
int id[maxn],cnt;
void add(int x,int y)
{
    to[++tot]=y;
    nxt[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
void dfs(int x,int f)
{
    id[++cnt]=x;
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(y==f)
            continue;
        dfs(y,x);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        printf("%d ",id[i]);
    return 0;
}

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DFS序的性质

观察上图：

和这棵树的一个DFS序：

1 2 8 8 5 5 2 7 7 4 3 9 9 3 6 6 4 1

我们发现，一个数字两次出现的位置所夹的区间，正好是以这个数为根的一个子树。比如：

2 8 8 5 5 2

就表示以2为根的子树是：2 8 5

我们发现：DFS序的一个性质就是把一棵子树放在一个区间里。这个优秀的性质把树状结构变成了线性结构。方便我们进行统计。

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DFS序的部分应用

刚刚提到的DFS序的性质让DFS序列成为了描述树的一种方式。准确地来说，DFS序让我们把树状结构变成了一个线性的结构。我们只需要在这个线性结构上进行区间修改、区间查询，而不需要再一遍遍地遍历整个子树来做到修改和查询。

这种性质的最显然应用就是在树链剖分中。树链剖分就是把树拆成一条条轻重链来把树的所有点映射到一棵线段树上来进行树上的修改与统计。它的实现原理就是DFS序。

如果有兴趣学习树链剖分的读者，请移步这篇博客：

树链剖分详解

树上的很多问题都可以用到DFS序，这里不再一一列举。希望读者能掌握：树转区间的这个性质。在以后的OI生涯中加以应用。