浅谈如何求逆序对
浅谈求逆序对的两种方式
本篇博客讲解一下信息学奥林匹克竞赛中一种小技巧（我也不知道这是算法还是技巧）——求逆序对。
逆序对的概念
先放一波啥是逆序对...
对于一个数列\(a\)，假如\(a[i]>a[j]\)并且\(i<j\)，那么这个\(a[i],a[j]\)就叫做这个数列的一个逆序对。
简单理解一下：假如本来这个数列是单调递增的，突然出来了一对不和谐的，它非要皮一下，两个数调换一下位置。那么这个不和谐的数对就叫做逆序对。
归并排序求逆序对
归并排序是求逆序对的一个常见并好用的手段。
如果又小可爱不太了解归并排序，那么请翻阅我的这篇博客：
其实这篇博客已经讲了咋用归并排序求逆序对...就是我下面讲的那些（Ctrl CV大法）
首先来放结论：如果在归并排序过程中，出现\(a[i]>a[j]\)，那么就会产生\(mid-i+1\)个逆序对。
很奇妙吧？下面来讲证明：
因为我们做归并排序是用到了分治的思想，最后的操作其实就是递归回溯，从小到大地合并，所以这个时候，我们的两个子序列（即\(l-mid\)，\(mid+1-r\)其实都是已经排好序的），这个时候，出现了一个不和谐的\(a[i]\)，说明从这个数一直到\(a[mid]\)的所有数都是不和谐的。我们直接累加就好。
代码只需要在模板归并排序的基础上再加一行即可：（已经用\(Attention\)标明）
void merge_sort(int l,int r)
{
if(l==r)
return;
int mid=(l+r)>>1;
merge_sort(l,mid);
merge_sort(mid+1,r);
int i=l,j=mid+1,k=l;
while(i<=mid && j<=r)
{
if(a[i]<=a[j])
b[k++]=a[i++];
else
{
b[k++]=a[j++];
ans+=mid-i+1;//Attention
}
}
while(i<=mid)
b[k++]=a[i++];
while(j<=r)
b[k++]=a[j++];
for(int p=l;p<=r;p++)
a[p]=b[p],b[p]=0;
}
树状数组求逆序对
使用树状数组求逆序对的想法可能更加的抽象一些。
关于树状数组，如果有需要补习的小伙伴，推荐自己的这篇博客：
首先，我们需要明白，为什么逆序对可以使用树状数组来求：其实，根据逆序对的定义，我们会发现：其实求解逆序对的过程就是在找一个序列中，在一个数的前面有多少比它大的数。那么，这种区间统计的题，完全可以使用树状数组这种数据结构来解决。
树状数组的功能就是单点修改，区间查询。那么，我们开一个树状数组
（注意：这里的数据可能需要进行离散化，当数据量过大的时候，需要把区间大小离散成元素数量，如有离散化不明白的小伙伴，可以看我的这篇博客：）
这个树状数组表示的是在当前元素前且比当前元素大的元素个数。我们从头开始扫，每碰到一个数，就用树状数组的修改操作向上修改，加1。我们查询的时候就可以知道有多少个数比它大，然后用现在已经插入的元素个数减去查询的数量（包括它自己），就可以得出当前逆序对的个数。
模板大致如下：（JDOJ 1927 求逆序对）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int c[500010],rk[500010],n;
long long ans;
struct point
{
int num,val;
}a[500010];
inline bool cmp(point q,point w)
{
if(q.val==w.val)
return q.num<w.num;
return q.val<w.val;
}
inline void fix(int p,int d)
{
for(;p<=n;p+=p&-p)
c[p]+=d;
}
inline int getsum(int x)
{
int sum=0;
for(;x;x-=x&-x)
sum+=c[x];
return sum;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i].val),a[i].num=i;
sort(a+1,a+1+n,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++)
rk[a[i].num]=i;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
fix(rk[i],1);
ans+=i-getsum(rk[i]);
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
