离散化及其写法

离散化及其写法

离散化是算法竞赛中常常要用到的一种技巧，经常会出现在一些数据结构的题目中，和一些数据结构结合起来。试想，假如你现在看到了一道线段树的裸题，在你极其兴奋的同时发现数据范围是1-1e10的，开4倍的线段树根本开不下。于是你极其懊恼地只拿了部分分，可能还会因为心情不好而出锅爆零（逃）...

所以这里来讲一下离散化的原理及实现方式（严肃）

PS：对于离散化零概念同学，建议从头翻到尾，如果只是来复习离散化的写法，请直接到文尾。

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离散化的概念

首先，什么是离散化？

在鄙人的理解中，离散化就是比相对大小。

为了本篇题解的正规性和学术性，先来贴一波标准定义：（滑稽）

离散化，把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去，以此提高算法的时空效率。

通俗的说，离散化是在不改变数据相对大小的条件下，对数据进行相应的缩小。

看不懂就看下面的例子：

原数：131021 546412 973324

离散化后数据：1 2 3

够形象了吧......

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离散化的适用范围

试想，当你要对一个长度为\(10^{10}\)的序列进行处理，你是否会开一个如此之大的数组？

除非你想MLE，或者，你不会离散化。

在一些题目和算法中，我们会发现，我们实现我们的想法的时候，只跟原数据的相对大小有关，比如1000000 和 2000000，在实际实现的时候，和1 2的效果是完全一样的。那么，开2000000那么大的空间纯属浪费。那么我们就用离散化给它映射到一个较小的区间中。

通俗地来讲，当有些数据本身很大， 自身无法作为数组的下标保存对应的属性。如果这时只是需要这堆数据的相对属性， 那么可以对其进行离散化处理。当数据只与它们之间的相对大小有关，而与具体是多少无关时，可以进行离散化。

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离散化的写法

离散化的实现比较简单。我们只需要维护两个事情不变：首先：保证离散化之后的数据尽可能地小而且非负。其次：离散后的数据要保持原本的大小关系，原本相等的也要保持相等，否则就是错误的离散。

因此，找出原数据在序列中的序位就是离散化的关键。

我们在正常实现离散化的时候，有两种方法：

结构体实现：

代码：

struct node
{
    int x,id;
}a[maxn];
int rank[maxn],n;
-----------------------------
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    scanf("%d",&a[i].x);
    a[i]=id=i;
}
sort(a+1,a+n+1);//从小到大
for(int i=1;i<=n;i++)
    rank[num[i].id]=i;//映射

解释：

这实际上就是一个结构体模拟映射的过程。

一开始输入了原数据，并且按次序保存了id，也就是原数列的位置。

然后进行排序，易知映射后的数据范围就是1-n。所以排序后的位置就放上我们当前的i即可。

但是，这个方式有一个弊端，就是不能处理数据相等的情况。如果碰到数据相等，那么离散化之后就变成了不等。

数组实现

代码：

int a[maxn],b[maxn];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    scanf("%d",&a[i]);
    b[i]=a[i];
}
sort(b+1,b+n+1,cmp);//cmp函数是自定义比较从小到大或从大到小的
int size=unique(b+1,b+n+1)-(b+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
    a[i]=lower_bound(b+1,b+size+1,a[i])-b;

解释：

数组实现离散化的码量很少，减少了编程的复杂度。但是稍稍难理解一些（可能对读者理解造成主要困难的就是不明白unique和lower-bound函数）。输入a[i]之后紧接着保存同样的b[i]作为副本。然后对副本b进行去重，并保存b数组去重后的长度（size）。

然后开始离散化，直接把对应元素转换成相应的数组下标即可。

对unique和lower_bound函数不明白的同学请看下面：

• unique函数的功能是对一个数组进行去重，并返回去重之后的数组最后一个元素的下一个位置。这个细节很重要，因为C++的内置函数对区间所采用的所有操作都是左闭右开型的。所以这些函数会返回我们想象中“最后一个元素”的下一个位置，所以我们要对这个返回值进行加减。

• 根据指针的减法，unique函数已经返回了这个位置（我们可以把它理解成下标），那么，我们只需要把这个下标再减去首位置，就是这个序列的长度。

• lower_bound函数会传入三个参数，返回第一、第二个参数所表示的区间中第一个大于等于第三个元素的位置。这个区间应该是事先排好序的。但是这个返回值并不是目标的下一个位置，所以在转换成数组下标的时候，我们只需要减去数组的第0个元素即可。

针对上面那段代码，已经被排好序的b数组的下标就是我们要映射到的东西，我们就得到了一个经过离散化之后的，去重的a数组。

补充（UPD：2020.3.16）：也有一种写法，是每次需要用a[i]的离散后数值时才查找；个人不推荐这么写，因为当询问次数很多的时候会大量消耗时间，而像上文那样直接处理好的写法，每次只需要O(1)的时间就可以完成查询。

STL map实现（UPD：2020.3.16）

STL为我们提供了一个非常好的，可以处理映射问题的模板：map。

关于map容器，有不懂的小伙伴可以去翻：C++STL——map

模板：

#include<map>
map<int,int> mapp;
int a[maxn];
for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);
sort(a+1,a+n+1,cmp);
int cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    if(a[i]!=a[i-1])
        map[a[i]]=++cnt;
	else
        map[a[i]]=cnt;
}

思想是一样的，应用了一个cnt变量来维护去重，调用的时候可以直接用键值，非常舒服方便。