简单线段树知识点详解
简单线段树知识点详解
本篇随笔讲解信息学奥林匹克竞赛中强大且常用的猛士数据结构——线段树。因为线段树博大精深，有许多变形和应用方式。区区一篇随笔是绝对无法尽叙的。所以在这里笔者只为读者讲解简单线段树。希望每一位有缘读到这篇随笔的人都能对线段树有一个深刻的理解，并会解决线段树的简单问题。
由于线段树属于一种高级数据结构。所以在学习线段树的时候需要的知识铺垫比较多。建议读者先对树状结构、二分以及递归编程法有深刻的认识和理解，然后再进行线段树的学习。这样的话会方便很多。当然，如果你缺少了前述铺垫知识的一项或几项，也并不代表你一定学不好线段树。勇于尝试、敢于挑战、努力思考。这会对你线段树及以后很多知识点的学习有极大的促进作用。
那我就开始了。
线段树的概念
在介绍线段树的概念之前，我先介绍线段树的用途：线段树一般用于区间统计。即统计\([x,y]\)区间内的某一个特性。这个特性可以有很多，比如区间求和，区间最值等等。
定义什么的特别复杂，我们争取用一张图搞清楚对线段树的直观理解。
上图是一棵1-5区间的线段树。
我们发现这个线段树是一棵二叉树，每个节点表示一个区间，根节点对应区间1-n.每个叶子节点都只表示单点，针对二叉树编号的性质（二叉树的每个父亲节点f的左节点编号是2f,右节点编号是2f+1），我们可以使用一维数组实现线段树。
也就是说，我们开一个一维数组，一维数组的下标表示这棵线段树的节点编号，里面存的值表示这个节点所表示的区间中我们要维护的特性：如和、最值等。
简单线段树支持的操作
刚刚已经说过，线段树是一种博大精深的数据结构，它的功能和操作实在是太多了。之所以反复强调这些，是为了让读者清楚，在线段树的海洋中，我们都不过是探其一角罢了，千万不要妄自尊大，以为自己已经把线段树全部搞完了。
简单线段树支持单点查询，区间查询，单点修改，区间修改，我们发现这和树状数组的一些支持项目类似，但是却不完全包含，因为树状数组仅支持区间求和，且必须是\(1-n\)的求和，如果想要\([x,y]\)的任意区间求和的话，必须需要使用差分思想来相减。也就是说，树状数组的所有题目都可以使用线段树统计解决，但是线段树的题目却不一定也能用树状数组解决，换句话说，线段树是树状数组的扩充版本。
简单线段树的实现
实现线段树的方法有两种，一般来讲，我们常常用结构体来实现线段树，在线段树的实现过程中，我们需要维护节点的编号，节点编号所表示的区间（左端点和右端点）。
同时，我们也可以用一维数组来实现线段树。
为什么一维数组可以实现线段树呢？
因为根据二叉树的性质，如果从根节点开始从1开始连续编号，那么对于任意编号为\(x\)的节点，它的左儿子编号就是\(2x\)，右儿子的编号就是\(2x+1\)。所以我们的数组下标只维护节点编号。而节点的左右端点另用参数表示。这样也可以实现线段树。因为码量少，较直观，本篇随笔的例题和讲解统一使用这种写法来演示。
线段树的时间复杂度是\(O(logn)\)级别的。
下面我们通过一道例题来分析和讲解线段树的实现。
- 讲解例题：有一个含有\(n\)个元素的数列，初始值不等，操作1将区间\([x,y]\)的所有值加\(k\)，操作2查询区间\([x,y]\)的值的和。
假设\(n=5\)，那么我们回到这个\(1-5\)的线段树的图示。
我们发现，我们的数列初始值就是上图中的叶子节点的值。如果要让线段树能支持我们进行修改和查询操作，我们首先要给线段树的叶子节点赋上值，并且通过叶子节点的值一层层地向上回溯，直至把整棵树都赋上正确的值。我们把这个过程叫做：建树。
建树
因为线段树是二叉树，而我们在建树的时候又要从叶子节点一点点地向上赋值建树，那么我们很容易想到用递归进行建树。在写这个递归函数的时候，我们先进行搜索，搜到叶子节点之后就赋上值，然后递归回溯，一层一层地给上面的节点赋值。
代码如下：
#define lson pos<<1
#define rson pos<<1|1//位运算定义左右儿子
void build(int pos,int l,int r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(l==r)//表示搜到叶子节点
{
tree[pos]=a[l];//赋值
return;
}
build(lson,l,mid);
build(rson,mid+1,r);//递归建树
tree[pos]=tree[lson]+tree[rson];//建树维护区间和的操作
}
其中\(tree[]\)为线段树数组，\(pos\)为节点编号，\(l,r\)为左右端点。
其实，在有的题目中，我们并不需要建树。那么，什么时候需要建树，什么时候不需要呢？
其实很简单啦！如果数列中有初值的话就建树，没有初值就不用建了（本来就是空的）
修改
建完树之后，我们下一步的操作就应该是按照题意对数列上的区间进行修改。如果是朴素算法，我们很容易想到从\(x\)到\(y\)进行循环修改，这样的时间复杂度是\(O(n)\)，在一些题目种肯定是过不了的。而我们刚刚说到过，线段树的复杂度是\(O(logn)\)。因为这是一种二叉树，所以我们考虑递归搜索。
假如我们要修改的区间是\([x,y]\)，那么我们从根节点开始搜索，如果到了叶子节点且这个叶子节点在\([x,y]\)之内，那就进行修改，然后再一层层递归回溯更新即可。
但是，这样真的有必要么？
继续贴原图：
现在假设我们要修改区间\([1,3]\)中的每个数，按照我们之前的模拟，我们需要从1号点一直搜到8，9，5三个点，然后进行回溯修改。但是，通过分析上图，我们发现如果搜到了2号点，2号点表示的区间正好是\([1,3]\)，那如果直接修改2号点的权值，在以后查询的时候就不会影响正确答案了。（我这个说法是错的，为什么错一会讲）所以，基于这个“偷懒”的思想，我们引入线段树的精华修改——\(lazy\)标记。
\(lazy\)标记和\(pushdown\)操作
先来一波规范的定义：假设我们要修改区间\([x,y]\)，而遇到了某个节点维护的区间是区间\([a,b]\)，而区间\([a,b]\)又是区间\([x,y]\)的子集，那么我们就在当前节点修改整个区间的属性，而不用修改到叶子节点。（否则的话，时间复杂度要比\(O(n)\)的还大）。那么这个就是lazy标记了。
也就是说，当搜到一个子集点的时候，直接把这个点打上标记，把这个点的线段树数组加上修改的区间长度*修改的数值（好好想想为啥这么干）。然后把标记数组加上要修改的数值。
而当我们继续搜索的时候，需要加入一个pushdown的操作。
为什么呢？
因为我们要维护搜索的正确性。试想，我们刚刚完成了一次区间修改，而这种区间修改只修改了子集节点。它往下的那些节点都没有改。问题来了：我们如果有多个操作，涉及到这个子集节点的往下的节点，那就出问题了，因为那些东西并没有被修改，这也是常常出锅的原因。
\(pushdown\)应运而生，这个操作的正式名字叫标记下传。顾名思义，就是把当前点的lazy标记下传到它的左右儿子，同时把这个节点的lazy值清零。
大体长成这个样子：
void mark(int pos,int l,int r,int k)
{
tree[pos]+=(r-l+1)*k;
lazy[pos]+=k;
}
void pushdown(int pos,int l,int r)
{
int mid=(l+r)>>1;
mark(lson,l,mid,lazy[pos]);
mark(rson,mid+1,r,lazy[pos]);
lazy[pos]=0;
}
void update(int pos,int l,int r,int x,int y,int k)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=l && r<=y)
{
mark(pos,l,r,k);
return;
}
pushdown(pos,l,r);
if(x<=mid)
update(lson,l,mid,x,y,k);
if(y>mid)
update(rson,mid+1,r,x,y,k);
tree[pos]=tree[lson]+tree[rson];
}
查询
查询的模板和以上修改的大同小异。我们新加一个ret变量，然后递归进行累加即可。
代码如下：
int query(int pos,int l,int r,int x,int y)
{
int ret=0;
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=l && r<=y)
return tree[pos];
pushdown(pos,l,r);
if(x<=mid)
ret+=query(lson,l,mid,x,y);
if(y>mid)
ret+=query(rson,mid+1,r,x,y);
return ret;
}
总结
简单线段树的知识点差不多就是这些，以上演示的是区间和的求法。经常用线段树维护的还有区间最值。当然，区间最值的求法可以有很多，ST表也是非常常用的一种。如果只是单纯的求RMQ，而没有其他的一些要求，个人还是推荐大家用ST表来求最值。这样的复杂度总会更优一些。
总之，线段树是一种需要好好体会的数据结构。提高以上的题目经常会用到这个模板做一些东西。而如果这个模板拍不熟，真正在考场上就会“心有余而力不足”，明知这道题可以用线段树做，却无从下手，不知道写什么。那样的话就太糟糕了。希望读者们能多做题，多体会。举一反三，彻底掌握这种数据结构。AK 所有比赛（我飘了）
