3门问题的简明解释与程序模拟

问题：三扇门，只有一扇门后面有奖品。你随便选择了一扇门。然后主持人打开了另一扇门，里面是空的。他问你"换不换？" 换还是不换的中奖率高？
答案：换的中奖率是2/3，不换的中奖率是1/3。
注意：主持人必定打开空门。他知道哪扇门有奖品。他不会打开你选择的门。

如果选择不换，即忽略主持人，中奖率是1/3。如果选择换，以奖品在0号门后为例：你选0，主持人选1或2，相应地你选2或1，不中奖。你选1，主持人只能选2，你只能选0，中奖。你选2，主持人只能选1，你只能选0，中奖。总结：如果你第一次选的是0，最后不中奖；如果第一次选的是1或2，最后必然换回0，中奖。3选2，中奖概率是2/3。奖品在1号或2号门后的结果一样。把程序里的prize = randint(0, 2)换成prize = 0,1,2中某个固定的数，结果一样。

1 - 不换的中奖率1/3 = 2/3，只是特例。若有10扇门，不换的中奖率是0.1, 换的中奖率不可能是0.9。总共3扇门，主持人选后剩两扇，非此即彼。

一个袋中有三个球，0,1,2，摸一次拿到1的概率是1/3。如果球的编号换成0,1,0，拿到1的概率还是1/3，不是说摸到的球不是0就是1，所以概率是1/2。

门用0,1,2编号是为了便于程序处理：chosen = (chosen + 1) % 3

# -*- coding: gbk -*-
from random import randint
def test_randint():
    d = {}; cnt = 0
    for i in range(10000): i = randint(0, 2); d[i] = 1 + d.get(i, 0)
    print(d)
test_randint()
def p(num, den):
    a = float(cnt) / n; b = float(num) / den
    print(a, ' = ' if abs(a - b) < 0.01 else ' != ', num, '/', den, sep='')
cnt = 0; n = 300000
for i in range(n):
    prize = randint(0, 2)
    chosen = randint(0, 2)
    while True:
        host = randint(0, 2)
        if host != prize and host != chosen: break
    old_chosen = chosen
    chosen = (chosen + 1) % 3
    if chosen == host: chosen = (chosen + 1) % 3
    if chosen == prize: cnt += 1
    if chosen == host or chosen == old_chosen: print('WTF!')
p(2, 3)

 条件概率 | 生日相同与n门问题