二叉树

定义

二叉树是一种特定类型的树数据结构，每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。
它是一种递归定义的数据结构：

• 空树：
• 非空树： 由一个根节点和两个不相交的二叉树（左子树和右子树）组成。

性质

• 节点数：
  • 如果二叉树的高度为h（根节点的高度为0），则最多有 2^h+1−1 个节点。
  • 第i层最多有 2ⁱ个节点（i >= 0）
• 叶子节点数:
  对于任何非空二叉树，如果叶子节点数为n0，度为2的节点数为n2，则n0 = n2 + 1。
• 完全二叉树：
  如果二叉树的所有叶子节点都在最后一层或倒数第二层，并且最后一层的叶子节点从左到右连续排列，则称为完全二叉树。

二叉树的遍历

二叉树的遍历是指按照某种顺序访问树中的每个节点。常见的遍历方法有三种：前序遍历、中序遍历和后序遍历。

• 前序遍历（Pre-order Traversal）：
  • 访问顺序为：根节点 -> 左子树 -> 右子树。
  • 递归实现：

      // java
      void preOrder(TreeNode node) {
          if (node == null) return;
          System.out.print(node.data + " "); // 访问根节点
          preOrder(node.left); // 遍历左子树
          preOrder(node.right); // 遍历右子树
      }
    

• 中序遍历（In-order Traversal）：
  • 访问顺序为：左子树 -> 根节点 -> 右子树。
  • 递归实现：

    // java
    void inOrder(TreeNode node) {
        if (node == null) return;
        inOrder(node.left); // 遍历左子树
        System.out.print(node.data + " "); // 访问根节点
        inOrder(node.right); // 遍历右子树
    }
    

• 后序遍历（Post-order Traversal）：
  • 访问顺序为：左子树 -> 右子树 -> 根节点。
  • 递归实现：

    //java
    void postOrder(TreeNode node) {
        if (node == null) return;
        postOrder(node.left); // 遍历左子树
        postOrder(node.right); // 遍历右子树
        System.out.print(node.data + " "); // 访问根节点
    }
    

二叉树的实现

二叉树通常通过节点类来实现，每个节点包含数据部分和指向左右子节点的指针。

  //java
  class TreeNode {
      int data;
      TreeNode left;
      TreeNode right;

      TreeNode(int data) {
          this.data = data;
          this.left = null;
          this.right = null;
      }
  }

二叉树的优缺点

• 优点：
  具有丰富的结构，可以表示各种层次关系。
  支持高效的插入、删除和查找操作（例如在二叉搜索树中）。
• 缺点：
  实现相对复杂，需要更多的内存来存储指针。
  不平衡的二叉树可能导致退化，影响性能。