树的基本概念

树的定义

树（Tree）是一种非线性数据结构，由节点（或称为顶点）和边组成。树具有层次结构，每个节点可以有多个子节点，但每个子节点只能有一个父节点。树的顶部节点称为根节点（Root），根节点没有父节点。树中的节点可以分为内部节点（有子节点的节点）和叶子节点（没有子节点的节点）。

树的数学定义

树可以被定义为一个无环的连通图。具体来说：

• 无环：树中不存在任何环，即没有从一个节点出发经过若干条边后回到该节点的路径。
• 连通：树中的任意两个节点之间都存在一条路径。

树的基本术语

• 节点（Node）：树中的每个元素称为一个节点，节点包含数据部分和指向子节点的指针。
• 根节点（Root）：树的顶部节点，没有父节点。
• 父节点（Parent）：一个节点的直接前驱节点。
• 子节点（Child）：一个节点的直接后继节点。
• 叶子节点（Leaf）：没有子节点的节点。
• 兄弟节点（Sibling）：具有相同父节点的节点。
• 路径（Path）：从一个节点到另一个节点的边的序列。
• 路径长度：从一个节点到另一个节点的边的数量
• 层次（Level）：从根节点到某个节点的路径长度。
• 高度（Height）或深度：树的高度是从根节点到最远叶子节点的最长路径的长度。
• 子树（Subtree）：以某个节点为根的树称为该节点的子树。
• 度（Degree）：一个节点的子节点数量。树的度是指树中节点的最大子树数量。

树的性质

• 唯一根节点：树有且仅有一个根节点。
• 无环：树中不存在任何环。
• 连通：树中的任意两个节点之间都存在一条路径。
• 层次结构：树具有明显的层次结构，每个节点都可以通过路径到达根节点。
• 子节点唯一性：每个子节点只能有一个父节点。

树的常见类型

• 二叉树（Binary Tree）：每个节点最多有两个子节点的树。
• 满二叉树（Full Binary Tree）：每个节点都有两个子节点或没有子节点的二叉树。
• 完全二叉树（Complete Binary Tree）：如果二叉树的所有叶子节点都在最后一层或倒数第二层，并且最后一层的叶子节点从左到右连续排列。
• 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：左右子树的高度差不超过1的二叉树。
• 二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）：一种特殊的二叉树，其中每个节点的值大于其左子树中所有节点的值，小于其右子树中所有节点的值。
• AVL树：一种自平衡的二叉搜索树，其中每个节点的左右子树的高度差不超过1。
• 红黑树：一种自平衡的二叉搜索树，通过在节点上添加颜色属性（红色或黑色）来保证树的平衡。
• B树：一种多叉树，每个节点可以有多个子节点，通常用于数据库和文件系统中。
• B+树：B树的一种变体，所有叶子节点都包含指向相邻叶子节点的指针，便于范围查询。
• 堆（Heap）：一种特殊的完全二叉树，通常用于实现优先队列。堆分为最大堆和最小堆。