AVL树，一种自平衡的二叉搜索树

AVL树（Adelson-Velsky and Landis Tree），也称为高度平衡二叉搜索树，是一种自平衡的二叉搜索树。在AVL树中，每个节点的左子树和右子树的高度最多相差1。如果任何时候节点的左右子树高度差超过1，就会通过旋转操作来重新平衡树。

AVL树的性质：

1. 每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1。
2. 每个节点的键值大于其左子树中任何键值，小于其右子树中任何键值。

AVL树的旋转操作：

为了维护AVL树的平衡，可能需要在插入和删除节点后进行以下四种旋转操作：

1. 单右旋（Single Right Rotation）：

   • 当插入或删除导致节点的左子树比右子树高超过1时，对节点进行单右旋转。

2. 单左旋（Single Left Rotation）：

   • 当插入或删除导致节点的右子树比左子树高超过1时，对节点进行单左旋转。

3. 左右旋（Left-Right Rotation）：

   • 当插入或删除导致节点的左子树的左子树比右子树高超过1时，先对节点的左子节点进行单右旋转，然后对节点进行单左旋转。

4. 右左旋（Right-Left Rotation）：

   • 当插入或删除导致节点的右子树的右子树比左子树高超过1时，先对节点的右子节点进行单左旋转，然后对节点进行单右旋转。

AVL树的插入和删除：

• 插入：

  • 像在普通二叉搜索树中一样插入新节点。
  • 插入后，从插入点开始向上更新节点的高度和平衡因子。
  • 如果任何节点的平衡因子大于1或小于-1，执行相应的旋转操作。

• 删除：

  • 找到要删除的节点并删除它。
  • 删除后，从删除点开始向上更新节点的高度和平衡因子。
  • 如果任何节点的平衡因子大于1或小于-1，执行相应的旋转操作。

AVL树的优点：

• 查找效率高：AVL树的高度保持对数级别，因此查找、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)。

AVL树的缺点：

• 插入和删除可能需要多次旋转：这可能导致在最坏情况下性能不如其他类型的平衡二叉树，如红黑树。

AVL树的应用：

• AVL树常用于需要频繁查找、插入和删除的场景，如数据库索引、词典和语言编译器的符号表。

AVL树是一种高效的数据结构，特别适合那些对查找性能要求极高的应用。由于其严格的平衡要求，AVL树在某些操作中可能比红黑树等其他自平衡二叉搜索树有更高的性能开销。