核、值域、向量空间、行空间、零空间

1、核

所有经过变换矩阵后变成了零向量的向量组成的集合，通常用Ker(A)来表示。

假设你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，如果你不幸落入了这个矩阵的核里面，那么很遗憾转换后你就变成了虚无的零。特别指出的是，核实“变换”（Transform）中的概念，矩阵变换中有一个相似的概念叫“零空间”。有的材料在谈到变换的时候使用T来表示，联系到矩阵时才用A，本文把矩阵直接看作“变换”。核所在的空间定义为V空间，也就是全部向量原来的空间。

2、值域

某个空间中所有向量经过变换矩阵后形成的向量的集合，通常用R（A）来表示。

假设你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，这个矩阵的值域表示了你将来所有可能的位置。值域的维度也叫做秩（Rank）。值域所在的空间定义为W空间。

3、空间

向量与建立在其上的加、乘运算构成了空间。向量可以（也只能在）空间中变换。使用坐标系（基）在空间中描述向量。

不管是核还是值域，它们都是封闭的。意思是说，如果你和你的朋友困在核里面，你们不管是相加还是相乘都还会在核里面，跑不出去，这就构成了一个子空间。值域同理。

数学家证明了，V（核所在的空间定义为V空间）的维度一定等于它的任意一个变换矩阵的核的维度加上值域的维度。

严格的证明可以参考相关资料，这里说一个直观的证明方法：

V的维度也就是V的基的数目。这些基分为两部分，一部分在核中，一部分是值域中非零象的原象（肯定可以分，因为核和值域都是独立的子空间）。如果把V中的任意向量用基的形式写出来，那么这个向量必然也是一部分在核中，另一部分在值域中非零象的原象里。现在对这个向量作变换，核的那部分当然为零了，另一部分的维度刚好等于值域的维度。

 

四、变换矩阵行空间和零空间的关系

根据矩阵的性质，变换矩阵的行数等于V的维度，变换矩阵的秩等于值域R的维度，所以可以得出：

因为A的秩又是A行空间的维度（注意在非满矩阵中这个数肯定小于行数），所以上述公式可以变为：

之所以写成这个形式，是因为我们可以发现A的零空间和A的行空间是正交互补的。正交是因为零空间就是核，按定义乘以A的行向量当然为零。互补是因为它们加起来刚好张成整个V空间。

这个正交互补导致了非常好的性质，因为A的零空间和A的行空间的基组合起来刚好可以凑成V的基。

 

五、变换矩阵列空间和左零空间的关系

如果把以上方程取转置，则可以得到：

因为的实际意义是把值域和定义域颠倒过来了，所以的零空间就是值域以外的区域投向V中零点的所有向量的空间，有人将其称为“左零空间”（Left Null Space）。这样就可以得到：

同样，A的左零空间与A的列空间也正交互补，它们加起来刚好可以张成W空间，它们的基也构成了W的基。

 

六、变换矩阵行空间和列空间的关系

变换矩阵实际上就是把目标向量从行空间转换到列空间。

矩阵的行空间、列空间、零空间、左零空间构成了我们在线性代数研究中的所有空间，把它们的关系弄清楚，对于分别的基转换非常重要。

 

七、特征方程的秘密

我们试图构造一个这样的变换矩阵A：它把向量变换到一个值域空间，这个值域空间的基是正交的；不仅如此，还要求任对于意一个基v都有  的形式， 是原来空间的一个已知基。这样我们就能把复杂的向量问题转换到一个异常简单的空间中去。

如果 的数量不等于v，那么用取代A，可以变为一个对称且半正定矩阵，它的特征向量正是要求的基v！

再次说明，矩阵不等于变换，把矩阵看成变换只是提供一个理解变换矩阵的方法。或者，我们可以认为，矩阵只是变换的一种变现形式。

转自：特征值和特征向量的几何和物理意义