位运算
熟练掌握一些常见功能的位操作实现，具体为：
<1> 常用的等式：-n = ~(n-1) = ~n+1
<2> 获取整数n的二进制中最后一个1：n&(-n) 或者 n&~(n-1)，如：n=010100，则-n=101100，n&(-n)=000100
<3> 去掉整数n的二进制中最后一个1：n&(n-1)，如：n=010100，n-1=010011，n&(n-1)=010000
<4> X=2^N与任何小于2^N的整数进行按位与的结果都是0：X&(X-1)=0
<5> 按位与运算通常用来对某些位清0或保留某些位。例如把a 的高八位清 0 ， 保留低八位， 可作 a&255 运算 ( 255 的二进制数为0000000011111111)。
<6> 0^0=0,0^1=1 0异或任何数＝任何数
1^0=1,1^1=0 1异或任何数－任何数取反
任何数异或自己＝把自己置0
<7> 按位异或可以用1异或任何数－任何数取反来使某些特定的位翻转，如对数10100001的第2位和第3位翻转，可以将数与00000110进行按位异或运算。
10100001^00000110=10100111
<8> 通过按位异或运算，可以实现两个值的交换，而不必使用临时变量。例如交换两个整数a，b的值，可通过下列语句实现：
a=10100001,b=00000110
a=a^b； //a=10100111
b=a^b； //b=10100001
a=a^b； //a=00000110
<9> 左移运算符（<<）
将一个运算对象的各二进制位全部左移若干位（左边的二进制位丢弃，右边补0）。
例：a = a << 2 将a的二进制位左移2位，右补0，
左移1位后a = a * 2;
若左移时舍弃的高位不包含1，则每左移一位，相当于该数乘以2。
<10> 右移运算符（>>）
将一个数的各二进制位全部右移若干位，正数左补0，负数左补1，右边丢弃。
操作数每右移一位，相当于该数除以2。
例如：a = a >> 2 将a的二进制位右移2位，
左补0 or 补1 得看被移数是正还是负。
1） 加法实现
对应位的“异或操作”可得到没有进位的加法运算
（不同的数0和1异或为1，即0+1=1；相同的数0和0异或为0，即0+0=0；相同的数1和1异或为0，相当于1+1=10没有进位的加法运算）
对应位的“与操作”可得到该位产生的高位进位
(与操作是保留相同的“1”位，01^01=01,而01+01=10，即相同的“1”位进行"与操作"需要左移产生高位进位01<<1=10)
如：a=010010，b=100111，计算步骤如下：
第一轮：a^b=110101，(a&b)<<1=000100， 由于进位（000100）大于0，则进入下一轮计算，
a=110101，b=000100，a^b=110001，(a&b)<<1=001000，由于进位大于0，则进入下一轮计算：
a=110001，b=001000，a^b=111001，(a&b)<<1=0，进位为0，终止，计算结果为：111001。
代码如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
int add(int a, int b) {
int carry, add;
do {
add = a ^ b;
carry = (a & b) << 1;
a = add;
b = carry;
} while(carry != 0);
return add;}
|
（2） 减法实现
减法可很容易地转化为加法：a - b = a + (-b) = a + (~b + 1 )
代码如下：
1 2 3 |
int subtract(int a, int b) {
return add(a, add(~b, 1)); } |
（3） 乘法实现
先看一个实例：1011*1010：
1 2 3 4 5 6 7 |
1011
* 1010
----------
10110 < 左移一位，乘以0010
+ 1011000 < 左移3位，乘以1000
----------
1101110
|
因而乘法可以通过系列移位和加法完成。最后一个1可通过b&~(b-1)求得，可通过b& (b-1)去掉，
为了高效地得到左移的位数，可提前计算一个map，代码如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
int multiply(int a, int b) {
bool neg = (b < 0);
if(b < 0)
b = -b;
int sum = 0;
map<int, int> bit_map;
for(int i = 0; i < 32; i++)
bit_map.insert(pair<int, int>(1 << i, i));
while(b > 0) {
int last_bit = bit_map[b & ~(b - 1)]; //获得最后一个1，求得左移的位数
sum += (a << last_bit);
b &= b - 1; //将最后一个1去掉
}
if(neg)
sum = -sum;
return sum;}
|
（4） 除法实现
除法可很容易转化为减法操作，主要思想与乘法实现类似，代码如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 |
int divide(int a, int b) {
bool neg = (a > 0) ^ (b > 0);
if(a < 0)
a = -a;
if(b < 0)
b = -b;
if(a < b)
return 0;
int msb = 0;
for(msb = 0; msb < 32; msb++) {
if((b << msb) >= a)
break;
}
int q = 0;
for(int i = msb; i >= 0; i--) {
if((b << i) > a)
continue;
q |= (1 << i);
a -= (b << i);
}
if(neg)
return -q;
return q;}
|
