K-Means 聚类算法原理分析与代码实现
前言
在前面的文章中，涉及到的机器学习算法均为监督学习算法。
所谓监督学习，就是有训练过程的学习。再确切点，就是有 "分类标签集" 的学习。
现在开始，将进入到非监督学习领域。从经典的聚类问题展开讨论。所谓聚类，就是事先并不知道具体分类方案的分类 (允许知道分类个数)。
本文将介绍一个最为经典的聚类算法 - K-Means 聚类算法以及它的两种实现。
现实中的聚类分析问题 - 总统大选
假设 M 国又开始全民选举总统了，目前 Mr.OBM 的投票率为48%(投票数占所有选民人数的百分比)，而 Mr.MKN 的为47%，而剩下的一部分出于【种种原因】没有投票。
做为其中某个阵营的人，自然是希望能够尽可能的争取到这些剩余的票 -因为这完全可能影响最终选举结果。
然而，你不可能争取到这些人的所有投票，因为你满足某个群体的人，也许就伤害到了另一群人的利益。
一个很不错的想法是将这些人分为 K 个群体，然后主要对其中人数最多的几个群体做工作。
-- 这，就需要使用到聚类的策略了。
聚类策略是搜集剩余选民的用户信息(各种满意/不满意的信息)，将这些信息输入进聚类算法，然后对聚类结果中人数最多的簇的选民做思想工作。
可能你会发现某个簇的选民都是一个社区的，一个宗教信仰的，或者具有某些共性。这样就方便各种各样的拉票活动了。
K-Means 聚类算法
K，指的是它可以发现 K 个簇；Means，指的是簇中心采用簇所含的值的均值来计算。
下面先给出伪代码：
1 创建 k 个点作为起始质心 (随机选择): 2 当任意一个点的簇分配结果发生改变的时候: 3 对数据集中的每个数据点: 4 对每个质心: 5 计算质心与数据点之间的距离 6 将数据点分配到距其最近的簇 7 对每一个簇: 8 求出均值并将其更新为质心
然后是一个具体实现Python程序：
1 #!/usr/bin/env python
2 # -*- coding:UTF-8 -*-
3
4 '''
5 Created on 20**-**-**
6
7 @author: fangmeng
8 '''
9
10 from numpy import *
11
12 #==================================
13 # 输入:
14 # fileName: 数据文件名(含路径)
15 # 输出:
16 # dataMat: 数据集
17 #==================================
18 def loadDataSet(fileName):
19 '载入数据文件'
20
21 dataMat = []
22 fr = open(fileName)
23 for line in fr.readlines():
24 curLine = line.strip().split('\t')
25 fltLine = map(float,curLine)
26 dataMat.append(fltLine)
27 return dataMat
28
29 #==================================================
30 # 输入:
31 # vecA: 样本a
32 # vecB: 样本b
33 # 输出:
34 # sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2))): 样本距离
35 #==================================================
36 def distEclud(vecA, vecB):
37 '计算样本距离'
38
39 return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2)))
40
41 #===========================================
42 # 输入:
43 # dataSet: 数据集
44 # k: 簇个数
45 # 输出:
46 # centroids: 簇划分集合(每个元素为簇质心)
47 #===========================================
48 def randCent(dataSet, k):
49 '随机初始化质心'
50
51 n = shape(dataSet)[1]
52 centroids = mat(zeros((k,n)))#create centroid mat
53 for j in range(n):#create random cluster centers, within bounds of each dimension
54 minJ = min(dataSet[:,j])
55 rangeJ = float(max(dataSet[:,j]) - minJ)
56 centroids[:,j] = mat(minJ + rangeJ * random.rand(k,1))
57 return centroids
58
59 #===========================================
60 # 输入:
61 # dataSet: 数据集
62 # k: 簇个数
63 # distMeas: 距离生成器
64 # createCent: 质心生成器
65 # 输出:
66 # centroids: 簇划分集合(每个元素为簇质心)
67 # clusterAssment: 聚类结果
68 #===========================================
69 def kMeans(dataSet, k, distMeas=distEclud, createCent=randCent):
70 'K-Means基本实现'
71
72 m = shape(dataSet)[0]
73 # 簇分配结果矩阵。一列为簇分类结果，一列为误差。
74 clusterAssment = mat(zeros((m,2)))
75 # 创建原始质心集
76 centroids = createCent(dataSet, k)
77 # 簇更改标记
78 clusterChanged = True
79
80 while clusterChanged:
81 clusterChanged = False
82
83 # 每个样本点加入其最近的簇。
84 for i in range(m):
85 minDist = inf; minIndex = -1
86 for j in range(k):
87 distJI = distMeas(centroids[j,:],dataSet[i,:])
88 if distJI < minDist:
89 minDist = distJI; minIndex = j
90 if clusterAssment[i,0] != minIndex: clusterChanged = True
91 clusterAssment[i,:] = minIndex,minDist**2
92
93 # 更新簇
94 for cent in range(k):#recalculate centroids
95 ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]]
96 centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis=0)
97
98 return centroids, clusterAssment
99
100 def main():
101 'k-Means聚类操作展示'
102
103 datMat = mat(loadDataSet('/home/fangmeng/testSet.txt'))
104 myCentroids, clustAssing = kMeans(datMat, 4)
105
106 #print myCentroids
107 print clustAssing
108
109 if __name__ == "__main__":
110 main()
测试结果：
K-Means性能优化
主要有两种方式：
1. 分解最大SSE (误差平方和)的簇。
PS：直接在簇内执行一次 k=2 的 K-Means 聚类即可。
2. 合并距离最小的簇 或者 合并SSE增幅最小的两个簇。
基于这两种最基本优化策略，有一种更为科学的聚类算法 - 二分K-Means算法，下面进行详细介绍。
二分K-Means算法
该算法大致思路为：首先将所有的点作为一个簇，然后将该簇一分为二。之后选择其中一个簇继续划分。
选择方法自然是选择SSE增加更小的那个方式。
如此不断 "裂变"，直到得到用户指定数目的簇。
伪代码：
1 将所有点视为一个簇: 2 当簇数目小于k时: 3 对于每一个簇: 4 计算SSE 5 在给定的簇上面进行 k=2 的K-Means聚类 6 计算将簇一分为二后的SSE 7 选择使得误差最小的那个簇进行划分操作
具体实现函数：
1 #====================================== 2 # 输入: 3 # dataSet: 数据集 4 # k: 簇个数 5 # distMeas: 距离生成器 6 # 输出: 7 # mat(centList): 簇划分集合(每个元素为簇质心) 8 # clusterAssment: 聚类结果 9 #====================================== 10 def biKmeans(dataSet, k, distMeas=distEclud): 11 '二分K-Means聚类算法' 12 13 m = shape(dataSet)[0] 14 # 聚类结果数据结构 15 clusterAssment = mat(zeros((m,2))) 16 # 原始质心 17 centroid0 = mean(dataSet, axis=0).tolist()[0] 18 centList =[centroid0] 19 20 # 统计原始SSE 21 for j in range(m): 22 clusterAssment[j,1] = distMeas(mat(centroid0), dataSet[j,:])**2 23 24 # 循环执行直到得到k个簇 25 while (len(centList) < k): 26 # 最小SSE 27 lowestSSE = inf 28 # 找到最适合分裂的簇进行分裂 29 for i in range(len(centList)): 30 ptsInCurrCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==i)[0],:] 31 centroidMat, splitClustAss = kMeans(ptsInCurrCluster, 2, distMeas) 32 sseSplit = sum(splitClustAss[:,1]) 33 sseNotSplit = sum(clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A!=i)[0],1]) 34 35 if (sseSplit + sseNotSplit) < lowestSSE: 36 bestCentToSplit = i 37 bestNewCents = centroidMat 38 bestClustAss = splitClustAss.copy() 39 lowestSSE = sseSplit + sseNotSplit 40 41 # 本次划分信息 42 bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList) 43 bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit 44 45 # 更新簇集 46 centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0] 47 centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0]) 48 # 更新聚类结果集 49 clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss 50 51 return mat(centList), clusterAssment
测试结果：
小结
1. KMeans的用途很广泛，再举个例子吧：比如你计划要去中国100个城市旅游，那么如何规划路线呢？
---> 可以采用聚类的方法，将这些城市聚到几个簇里面，然后一个 ”簇"一个 "簇" 的进行游玩。质心就相当于机场，误差平方和就相当于游玩城市到质心的距离 :)
2. KMeans算法是很常用的聚类算法，然而，这里也要提一提它的缺点：初始质心及K值的指定对结果影响较大。这个话题也衍生出很多研究论文，有兴趣的读者可以进一步研究。
