题解：P4458 [BJOI2018] 链上二次求和

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考虑设 $a$ 的前缀和为 $s$，则答案为：

$$\begin{array}{rl}Ans& =\sum _{i=l}^r\sum _{j=1}^{n-i+1}(s_{i+j-1}-s_{j-1})\\ & =\sum _{i=l}^r(\sum _{j=i}^n{s}_j-\sum _{j=0}^{n-i}{s}_j)\end{array}$$

发现这里出现了 $s$ 的区间和，因而考虑设 $a$ 的二阶前缀和 $s{s}_i=\sum _{j=1}^i{s}_j$，进而有：

$$\begin{array}{rl}Ans& =\sum _{i=l}^r(s{s}_n-s{s}_{i-1}-s{s}_{n-i})\\ & =(r-l+1)s{s}_n-\sum _{i=l-1}^{r-1}s{s}_i-\sum _{i=n-r}^{n-l}s{s}_i\end{array}$$

因此我们需要维护 $ss$ 的区间和。考虑对 $[l,r]$ 增加 $\mathrm{\Delta }$ 对 $ss$ 的贡献。

• 对于 $l\le i\le r$，对 $s{s}_i$ 会贡献 $\frac{(i-l+1)(i-l+2)}{2}\mathrm{\Delta }$。

• 对于 $r<i\le n$，对 $s{s}_i$ 会贡献 $[\frac{(r-l+1)(r-l+2)}{2}+(r-l+1)\ast (i-r)]\mathrm{\Delta }$。

线段树维护即可，时间复杂度为 $O(q{\log }_{2}n)$。注意 $tag$ 可以设为 $t_0,t_1,t_2$ 表示需要增加 $t_2{i}^2+t_{1}i+t_0$。