题解：P5319 [BJOI2019] 奥术神杖

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假设包含了 $k$ 个串（可重复），则答案 $\lambda =\sqrt[k]{\prod _{i=1}^k{V}_i}$。发现开根和连乘不好维护，因而考虑两边同时取 $\ln$，则有 $\ln \lambda =\frac{1}{k}\sum _{i=1}^k\ln V_i$。稍微变化一下，有:

$$\ln \lambda =\frac{\sum _{i=1}^k\ln V_i}{\sum _{i=1}^{k}1}$$

发现这个式子是经典的分数规划模型，因此设 $g(\ln \lambda )=max\sum _{i=1}^k(\ln V_i-\ln \lambda )$，$g$ 为单调递减函数，且在 $\lambda$ 取到答案时其值为 $0$，因而可以二分。

考虑如何求 $g$，我们对所有的串建 AC 自动机，将每个节点的权值设为它和它 fail 树上祖先的 $\ln V_i-\ln \lambda$ 之和，然后暴力 DP 即可。时间复杂度为 $O(ns{\log }_2\frac{\ln V}{eps})$。

由于人傻常数大，我开 long double 最慢的一个点只能卡到 $1.03s$(悲)，还是开 double 吧qaq