2.8二进制位运算

题目P6306 「Wdsr-1」小铃的书

题目分析

1. 核心问题：

   • 小铃的书有 n-1 本，编号满足每种编号的书的数量是 k 的倍数
   • 混入了一本魔理沙的魔导书（编号未知），现在总共有 n 本书
   • 我们需要找出这本魔导书的编号

2. 性质分析：

   • 由于小铃的书编号数量满足倍数关系，每种编号的书的数量在 n-1 本书中均是 k 的倍数
   • 混入魔导书后，只有这一本书会导致某种编号的数量不再是 k 的倍数

3. 等价描述：

   • 对每一位的二进制位，统计所有书的编号中该位为 1 的书的个数
   • 由于小铃的书的编号在每一位上的 1 的数量也是 k 的倍数，混入魔导书后导致某些位的 1 的数量多了 1

---

解法设计

1. 利用二进制性质：

   • 每个数可以分解为 64 位二进制表示
   • 对每一位统计其 1 的总数量，检查是否是 k 的倍数。如果不是倍数，则说明魔导书的该位为 1

2. 空间和时间复杂度优化：

   • 时间复杂度：对每个数处理 64 位二进制，复杂度为 O(n *64)，等价于 O(n)
   • 空间复杂度：只需要存储 64 位计数器，复杂度为 O(64)，即 O(1)

---

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

// 快速读取整数
inline ll read() {
    ll x = 0; bool neg = false; char c = getchar();
    while (!isdigit(c) && c != '-' && c != EOF) c = getchar();
    if (c == '-') { neg = true; c = getchar(); }
    while (isdigit(c)) { x = x * 10 + (c - '0'); c = getchar(); }
    return neg ? -x : x;
}

int main() {
    ll n = read(), k = read(); // 读取 n 和 k
    int bc[64] = {0};          // 每一位的计数器（0~63）

    // 遍历 n 个书的编号
    for (ll i = 0; i < n; i++) {
        ll x = read();          // 读取书的编号
        for (int j = 0; j < 64; j++) {
            if (x & (1LL << j)) // 检查第 j 位是否为 1
                bc[j]++;
        }
    }

    ll res = 0;                 // 结果
    for (int j = 0; j < 64; j++) {
        if (bc[j] % k != 0)     // 如果第 j 位的数量不是 k 的倍数
            res |= (1LL << j);  // 将第 j 位设为 1
    }

    cout << res << '\n';        // 输出魔导书编号
    return 0;
}

---

样例分析

样例 1：

输入：

10 3
1 1 2 2 3 5 3 2 1 3

输出：

5

解释：

• 小铃的书中编号为 1, 2, 3 的书分别有 3 本，满足 k=3
• 混入的魔导书编号为 5，导致编号 5 的书的数量变为 1，从而破坏倍数关系

样例 2：

输入：

13 4
1 1 4 5 1 4 1 4 4 5 5 5 1

输出：

1

解释：

• 小铃的书编号为 1, 4, 5，分别有 4 本，满足 k=4
• 混入的魔导书编号为 1，导致编号 1 的书的数量多出 1