力扣 37.解数独 详解

37. 解数独

数独的解法需 遵循如下规则：

1. 数字 1-9 在每一行只能出现一次。
2. 数字 1-9 在每一列只能出现一次。
3. 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。（请参考示例图）

数独部分空格内已填入了数字，空白格用 '.' 表示。

示例：

输入：board = [["5","3",".",".","7",".",".",".","."],["6",".",".","1","9","5",".",".","."],[".","9","8",".",".",".",".","6","."],["8",".",".",".","6",".",".",".","3"],["4",".",".","8",".","3",".",".","1"],["7",".",".",".","2",".",".",".","6"],[".","6",".",".",".",".","2","8","."],[".",".",".","4","1","9",".",".","5"],[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
输出：[["5","3","4","6","7","8","9","1","2"],["6","7","2","1","9","5","3","4","8"],["1","9","8","3","4","2","5","6","7"],["8","5","9","7","6","1","4","2","3"],["4","2","6","8","5","3","7","9","1"],["7","1","3","9","2","4","8","5","6"],["9","6","1","5","3","7","2","8","4"],["2","8","7","4","1","9","6","3","5"],["3","4","5","2","8","6","1","7","9"]]

提示：

• board.length == 9
• board[i].length == 9
• board[i][j] 是一位数字或者 '.'
• 题目数据 保证 输入数独仅有一个解

官方题解+详解

链接

方法二：位运算优化
思路与算法

在方法一中，我们使用了长度为 9的数组表示每个数字是否出现过。我们同样也可以借助位运算，仅使用一个整数表示每个数字是否出现过。

具体地，数 b 的二进制表示的第 i 位（从低到高，最低位为第 0 位）为 1，当且仅当数字 i+1 已经出现过。例如当 b 的二进制表示为 (011000100)₂时，就表示数字 3，7，8 已经出现过。

位运算有一些基础的使用技巧。下面列举了所有在代码中使用到的技巧：

• 对于第 i 行第 j 列的位置，line[i] column[j] block[i/3][j/3]， 中第 k位为 1，表示该位置不能填入数字 k+1（因为已经出现过），其中 | 表示按位或运算。[ j/3]line[i] ∣ column[j] ∣ block[i/3][j/3]就可以获取所有已经出现过的数字，如果我们对这个值进行∼ 按位取反运算，那么第 k 位为 1就表示该位置可以填入数字 k+1，我们就可以通过寻找 1 来进行枚举。由于在进行按位取反运算后，这个数的高位也全部变成了 1，而这是我们不应当枚举到的，因此我们需要将这个数和 (111111111)₂ = (1FF)₁₆进行按位与运算 &，将所有无关的位置为 0；
• 我们可以使用按位异或运算∧，将第 i 位从 0 变为 1，或从 1 变为 0。具体地，与数 1 << i 进行按位异或运算即可，其中 << 表示左移运算；

a<<b 表示把a转为二进制后左移b位（在后面添加 b个0）

^ 运算:不同则为1，相同则为0,如0^1=1,1^1=0

line[i] ^= (1 << digit);如刚开始 d=2,line[i]=0

0^(1<<2) => 0^(100) => 100  从右往左（第一位是0）第2位变成1

d=1, 100^(1<<1) => 100^10 => 110 从右往左第1位变成1， 这样操作，每次都可以把第 i 位即 digit 的位置变成1，记录在第 digit位 已经有数据了，

例如当 b 的二进制表示为 (011000100)₂时，就表示数字 3，7，8 已经出现过；

如果在dfs函数下面，表示填digit走不通，就要改回来，把1变成0，即 d=1, 110^(10) => 101原来的第1位的1变成了0

• 我们可以用 b & (−b) 得到 b 二进制表示中最低位的 1，这是因为 (−b) 在计算机中以补码的形式存储，它等于∼b+1。b 如果和∼b 进行按位与运算，那么会得到 0，但是当 ∼b 增加 1 之后，最低位的连续的 1 都变为 0，而最低位的 0 变为 1，对应到 b 中即为最低位的 1，因此当 b 和∼b+1 进行按位与运算时，只有最低位的 1会被保留；

• 当我们得到这个最低位的 1 时，我们可以通过一些语言自带的函数得到这个最低位的 1究竟是第几位（即 i值），具体可以参考下面的代码；

int __builtin_ffs (unsigned int x) 
//返回x的最后一位1的是从后向前第几位，比如7368（1110011001000）返回4。 
int __builtin_clz (unsigned int x) 
//返回前导的0的个数。 
int __builtin_ctz (unsigned int x) 
//返回后面的0个个数，和__builtin_clz相对。 
int __builtin_popcount (unsigned int x) 
//返回二进制表示中1的个数。 
int __builtin_parity (unsigned int x) 
//返回x的奇偶校验位，也就是x的1的个数模2的结果。

• 我们可以用 b 和最低位的 1进行按位异或运算，就可以将其从 b 中去除，这样就可以枚举下一个 1。同样地，我们也可以用 b 和 b−1 进行按位与运算达到相同的效果，读者可以自行尝试推导。

实际上，方法二中整体的递归 + 回溯的框架与方法一是一致的。不同的仅仅是我们将一个数组「压缩」成了一个数而已

 

class Solution {
private:
    int line[9];
    int column[9];
    int block[9];//用block[9]是因为 j/3+(i/3)*3即可代表属于哪一个block
    bool valid;
    vector<pair<int, int>> spaces;

public:
    void flip(int i, int j, int digit) {
        line[i] ^= (1 << digit);
        column[j] ^= (1 << digit);
        block[j/3+(i/3)*3] ^= (1 << digit);
    }

    void dfs(vector<vector<char>>& board, int pos) {
        if (pos == spaces.size()) {
            valid = true;
            return;
        }

        auto [i, j] = spaces[pos];
        int mask = ~(line[i] | column[j] | block[j/3+(i/3)*3]) & 0x1ff;
        for (; mask && !valid; mask &= (mask - 1)) {
            int digitMask = mask & (-mask);//得到 mask 二进制表示中最低位的 1,如mask=10100 => 得 100
            int digit = __builtin_ctz(digitMask);//返回后面的0个数,100=>2,即从右往左（0开始）第2位即2可以填
            flip(i, j, digit);
            board[i][j] = digit + '0' + 1;
            dfs(board, pos + 1);
            flip(i, j, digit);//改回来
        }
    }

    void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {
        memset(line, 0, sizeof(line));
        memset(column, 0, sizeof(column));
        memset(block, 0, sizeof(block));
        valid = false;

        for (int i = 0; i < 9; ++i) {
            for (int j = 0; j < 9; ++j) {
                if (board[i][j] == '.') {
                    spaces.emplace_back(i, j);//加入需要填数字的位置
                }
                else {
                    int digit = board[i][j] - '0' - 1;
                    flip(i, j, digit);
                }
            }
        }

        dfs(board, 0);
    }
};

bitset

来自

bitset每个位置只占1bit，支持所有位运算。

初始化

string和整数

bitset<23>bit (string("11101001"));
cout<<bit<<endl;
bit=233;
cout<<bit<<endl;

00000000000000011101001
00000000000000011101001

位运算

b1&b2 b1^b2 b1|b2 b1<<n b1>>n

函数

对于一个叫做bit的bitset：
bit.size()       返回大小（位数）
bit.count()     返回1的个数
bit.any()       返回是否有1
bit.none()      返回是否没有1
bit.set()       全都变成1
bit.set(p)      将第p + 1位变成1（bitset是从第0位开始的！） 
bit.set(p, x)   将第p + 1位变成x
bit.reset()     全都变成0
bit.reset(p)    将第p + 1位变成0
bit.flip()      全都取反
bit.flip(p)     将第p + 1位取反
bit.to_ulong()  返回它转换为unsigned long的结果，如果超出范围则报错
bit.to_ullong() 返回它转换为unsigned long long的结果，如果超出范围则报错
bit.to_string() 返回它转换为string的结果