动态规划

动态规划

1. 爬楼梯问题

有一座高度是10级台阶的楼梯，从下往上走，每跨一步只能向上1级或者2级台阶。要求用程序来求出一共有多少种走法？

1.1 递归方法分析

由分析可知，假设我们只差最后一步就能走上第10级阶梯，这个时候一共有两种情况，因为每一步只允许走1级或2级阶梯，
因此分别为从8级阶梯和从9九级阶梯走上去的情况。因此从0到10级阶梯的走法数量就等于从0到9级阶梯的走法数量加上
从0到8级阶梯的走法数量。
依次类推，我们可以得到一个递归关系，递归结束的标志为从0到1级阶梯的走法数量和从0到2级阶梯的走法数量。

代码实现

function getClimbingWays(n) {

  if (n < 1) {
    return 0;
  }

  if (n === 1) {
    return 1;
  }

  if (n === 2) {
    return 2;
  }

  return getClimbingWays(n - 1) + getClimbingWays(n - 2);
}

使用这种方法时整个的递归过程是一个二叉树的结构，因此该方法的时间复杂度可以近似的看为 O(2^n)，空间复杂度
为递归的深度 O(logn)。

1.2 备忘录方法

分析递归的方法我们可以发现，其实有很多的计算过程其实是重复的，因此我们可以使用一个数组，将已经计算出的值给
保存下来，每次计算时，先判断计算结果是否已经存在，如果已经存在就直接使用。

代码实现

let map = new Map();

function getClimbingWays(n) {

  if (n < 1) {
    return 0;
  }

  if (n === 1) {
    return 1;
  }

  if (n === 2) {
    return 2;
  }

  if (map.has(n)) {
    return map.get(n);
  } else {
    let value = getClimbingWays(n - 1) + getClimbingWays(n - 2);
    map.set(n, value);
    return value;
  }
}

在以上代码中，集合map是一个备忘录。当每次需要计算F(N)的时候，会首先从map中寻找匹配元素。如果map中存在，就直接返回结果，如果map中不存在，就计算出结果，存入备忘录中。

通过这种方式，我们将算法的时间复杂度降低为 O(n)，但是增加空间复杂度为 O(n)

1.3 迭代法

通过观察，我们可以发现每一个值其实都等于它的前面两个值的和，因此我们可以使用自底向上的方式来实现。
temp = a + b

代码实现

function getClimbingWays(n) {

  if (n < 1) {
    return 0;
  }

  if (n === 1) {
    return 1;
  }

  if (n === 2) {
    return 2;
  }

  let a = 1,
    b = 2,
    temp = 0;

  for (let i = 3; i <= n; i++) {
    temp = a + b;
    a = b;
    b = temp;
  }

  return temp;
}

通过这种方式我们可以将算法的时间复杂度降低为 O(n)，并且将算法的空间复杂度降低为 O(1)。

详细资料可以参考：
《漫画：什么是动态规划？（整合版）》