最近公共祖先(LCA)模板

以下转自：https://www.cnblogs.com/JVxie/p/4854719.html

首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先？)：

在一棵没有环的树上，每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点，而最近公共祖先，就是两个节点在这棵树上深度最大的公共的祖先节点。

换句话说，就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点。

所以LCA主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。

有人可能会问：那他本身或者其父亲节点是否可以作为祖先节点呢？

答案是肯定的，很简单，按照人的亲戚观念来说，你的父亲也是你的祖先，而LCA还可以将自己视为祖先节点。

举个例子吧，如下图所示４和５的最近公共祖先是２，５和３的最近公共祖先是１，２和１的最近公共祖先是１。　

这就是最近公共祖先的基本概念了，那么我们该如何去求这个最近公共祖先呢？

通常初学者都会想到最简单粗暴的一个办法：对于每个询问，遍历所有的点，时间复杂度为O(n*q)，很明显，n和q一般不会很小。

常用的求LCA的算法有：Tarjan（离线）、倍增法（在线）

下面贴两种写法的代码，以HDU 2586 How far away ？为例：

题目大意：

给你一棵树n个节点，m次询问，每次询问树上节点u和v的最小距离。

Tarjan(时间复杂度O(n+Qlogn))

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<vector>
 6 using namespace std;
 7 const int N=4e4+5;
 8 
 9 struct node{
10     int to,w;
11     node(int to,int w):to(to),w(w){}
12 };
13 
14 struct qnode{
15     int to,id;
16     qnode(int to,int id):to(to),id(id){}
17 };
18 
19 vector<node>v[N];
20 vector<qnode>q[N];
21 bool vis[N];                //vis[i]表示点i是否被访问过
22 int res[N],root[N],dis[N];  //res记录答案
23 
24 int find(int x){
25     return root[x]==x?x:root[x]=find(root[x]);
26 }
27 
28 void lca(int u){
29     vis[u]=true;
30     for(int i=0;i<v[u].size();i++){
31         node t=v[u][i];
32         if(!vis[t.to]){
33             dis[t.to]=dis[u]+t.w;
34             lca(t.to);
35             root[t.to]=u;
36         }
37     }
38     for(int i=0;i<q[u].size();i++){
39         qnode t=q[u][i];
40         if(vis[t.to]){
41             res[t.id]=dis[u]+dis[t.to]-2*dis[find(t.to)];
42         }
43     }
44 }
45 
46 int main(){
47     int t;
48     scanf("%d",&t);
49     while(t--){
50         int n,m;
51         scanf("%d%d",&n,&m);
52         memset(vis,false,sizeof(vis));
53         memset(dis,0,sizeof(dis));
54         for(int i=1;i<=n;i++){
55             root[i]=i;
56             v[i].clear();
57         }
58         for(int i=1;i<=m;i++){
59             q[i].clear();
60         }
61         for(int i=1;i<=n-1;i++){
62             int a,b,c;
63             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
64             v[a].push_back(node(b,c));
65             v[b].push_back(node(a,c));
66         }
67         for(int i=1;i<=m;i++){
68             int a,b;
69             scanf("%d%d",&a,&b);
70             q[a].push_back(qnode(b,i));
71             q[b].push_back(qnode(a,i));
72         }
73         lca(1);
77         for(int i=1;i<=m;i++){
78             printf("%d\n",res[i]);
79         }
80     }
81     return 0;
82 }

倍增法（时间复杂度O（nlogn+Qlogn））

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<vector>
 5 #include<algorithm>
 6 using namespace std;
 7 const int N=1e5+5;
 8 
 9 struct node{
10     int to,w;
11     node(int to,int w):to(to),w(w){}
12 };
13 vector<node>v[N];
14 
15 int n,m;
16 int depth[N],fa[N][31],dis[N];
17 bool vis[N];
18 
19 
20 void init(){
21     memset(depth,0,sizeof(depth));
22     memset(fa,0,sizeof(fa));
23     memset(dis,0,sizeof(dis));
24     memset(vis,false,sizeof(vis));
25     for(int i=1;i<=n;i++) v[i].clear();
26 }
27 
28 void dfs(int u){
29     vis[u]=true;
30     for(int i=0;i<v[u].size();i++){
31         node t=v[u][i];
32         if(!vis[t.to]){
33             depth[t.to]=depth[u]+1;
34             fa[t.to][0]=u;
35             dis[t.to]=dis[u]+t.w;
36             dfs(t.to);
37         }
38     }
39 }
40 
41 //倍增,处理fa数组
42 void bz(){
43     for(int j=1;j<=30;j++){
44         for(int i=1;i<=n;i++){
45             fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
46         }
47     }
48 }
49 
50 int lca(int x,int y){
51     //保证深度大的点为x
52     if(depth[x]<depth[y])
53         swap(x,y);
54     int dc=depth[x]-depth[y];
55     for(int i=0;i<30;i++){
56         if(1<<i&dc)                 //一个判断，模拟下就会清楚
57             x=fa[x][i];
58     }
59     if(x==y)    return x;           //如果深度一样，两个点相同，直接返回
60     for(int i=29;i>=0;i--){
61         if(fa[x][i]!=fa[y][i]){     //跳2^i不一样，就跳，否则不跳
62             x=fa[x][i];
63             y=fa[y][i];
64         }
65     }
66     x=fa[x][0];
67     return x;
68 }
69 
70 int main(){
71     int t;
72     scanf("%d",&t);
73     while(t--){
74         init();
75         scanf("%d%d",&n,&m);
76         for(int i=1;i<=n-1;i++){
77             int a,b,c;
78             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
79             v[a].push_back(node(b,c));
80             v[b].push_back(node(a,c));
81         }
82         dfs(1);
83         bz();
84         for(int i=1;i<=m;i++){
85             int x,y;
86             scanf("%d%d",&x,&y);
87             printf("%d\n",dis[x]+dis[y]-2*dis[lca(x,y)]);
88         }
89     }
90     return 0;
91 }