阶梯博弈（另类尼姆博弈）

今天看到挑战程序设计上有一题博弈叫阶梯博弈，可以另类表示成尼姆博弈，感觉很有趣，于是去看了想相关的博文。

参考了这篇博客：我谈阶梯博弈( Staircase Nim )。

阶梯博弈:博弈在一列阶梯上进行,每个阶梯上放着自然数个点,两个人进行阶梯博弈，每一步则是将一个集体上的若干个点

( >=1 )移到前面去,最后没有点可以移动的人输。

说的通俗点，是在一排阶梯上的博弈。 每列阶梯上都有若干个石子，如下图所示，两名玩家可以向左移动石子到相邻阶梯上，最后谁把所有石子移动到地面上谁就获胜。

把阶梯都如图中所示标上序号（地面为0），那么我们可以把所有奇数堆石子看成N堆石子，然后当成尼姆博弈来求解。下面让我们来解释一下为什么可以这么写。

我们先按尼姆博弈的角度看这道题，设sum=a1^a2^.....an，如果当前的sum!=0，也就是先手必胜。那么先手就只对奇数堆进行操作，如果后一个人也对奇数堆进行操作，相当于在进行尼姆博弈。那么偶数堆的影响呢？假设后一个人对偶数堆进行操作将石子移动到奇数堆，企图改变先手的必胜态，但是下一次轮到先手时，只要将奇数堆里多出来的石子移动到偶数堆里去，就又恢复到了原来的状态，所以对偶数堆的操作并不会改变奇数堆的状态，也就不会影响到尼姆博弈的到过程，可以将偶数堆忽略。如果先手必败呢？同理，如果先手移动偶数堆，后手会从奇数堆移出相同数量的石子，没有影响，只要判断奇数堆做尼姆博弈的情况即可。

为什么是只对奇数堆做Nim就可以而不是偶数堆呢？因为如果是对偶数堆做Nim，对手移动奇数堆的石子到偶数堆，我们跟着移动这些石子到下一个奇数堆，那么最后是对手把这些石子移动到了0，我们不能继续跟着移动。那这样一来奇数堆就对偶数堆的Nim就有了影响，就不能只对偶数堆做Nim来比赛了。

 

例题一

POJ 1704 Georgia and Bob

题目链接：http://poj.org/problem?id=1704

题目大意：有一行排成直线的格子上放有n个棋子，如下图所示：

Georgia和Bob轮流选择一个棋子向左移动，每次可以移动一个及以上任意多格，但是不允许反超其他的棋子，也不允许将两个棋子放在同一个格子内。无法进行移动操作的一方失败，问谁会赢？

解题思路：阶梯博弈，当棋子有偶数个时，我们可以将棋子两两当成Nim中的一堆石子，两棋子中间的格子数为堆的石子数。如下图所示：

 

那就跟上面介绍的阶梯博弈一样了，把棋子组成的堆的石子数看成奇数列阶梯石子数，堆与堆之间的间隔看成偶数列阶梯的石子数，最终目的是把所有的石子都移到最右边（地面）。

当棋子有奇数个时，我们要进行特殊处理，将多出来的一个棋子与棋盘最左侧组成一堆，如下图所示：

所以最后解法就像Nim一样对每堆的石子数进行异或求和，最后判断异或值如果不为0，则先手胜，反之后首胜。注意一下，题目给出的棋子位置不是从小到大给的，所以要自己排下序，坑。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e3+5;
int a[N];

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n; 
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        //n为奇数就将棋盘最左侧当成一个棋子 
        if(n%2==1)
            a[++n]=0; 
        sort(a+1,a+1+n);
        int sum=0;
        for(int i=2;i<=n;i+=2){
            sum^=(a[i]-a[i-1]-1);
        }
        if(sum!=0)
            puts("Georgia will win");
        else
            puts("Bob will win");
    }
} 

 例题二

HDU 4315 Climbing the Hill

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4315

题目大意：山上有n个人，Alice和Bob轮流操作，每次可以选择一个人向上移动任意距离，但不能超过前面的人。山顶（坐标为0）可以站多个人，其他格子只能站一个人，在距离山顶第k远的位置的人时king，谁能先把king送上山顶谁就是获胜者。如下图为样例：

3 3

1 2 4

 

解题思路：这个题目跟上面的移动棋子的问题很像，如果没有king，那么解法就是一样的偶数时棋子两两成堆，奇数时令山顶与第一个人形成第一个区间（a[0]=-1），用Nim求解。但是多了king的话就需要多一些特殊判断，k==1时，Alice直接获胜，n为奇数且k==2时，因为谁先移动第一颗棋子到山顶谁就会输，除了没得选择谁都不会这么做，所以要把第一个区间距离-1（a[0]=-1+1=0）。

代码：

#include<cstdio>
const int N=1e3+5;

int a[N];

int main(){
    int n,k;
    while(~scanf("%d%d",&n,&k)){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        
        if(k==1){
            puts("Alice");
            continue;
        }
        int sum=0;
        //n为奇数，让第一个棋子与最顶上形成第一个区间 
        if(n%2==1){
            //k==2时,第一个区间距离-1 
            a[0]=-1+(k==2);
            for(int i=1;i<=n;i+=2)
                sum^=(a[i]-a[i-1]-1);
        }
        else{
            for(int i=2;i<=n;i+=2)
                sum^=(a[i]-a[i-1]-1);
        }
        if(sum!=0)
            puts("Alice");
        else
            puts("Bob");
    }
}