算法导论学习-动态规划之记忆化搜索

一. 动态规划

动态规划（dynamic programming）,与“分治思想”有些相似，都是利用将问题分 为子问题，并通过合并子问题的解来获得整个问题的解。于“分治”的不同之处在 于，对于一个相同的子问题动态规划算法不会计算第二次，其实现原理是将每一个计算过的子问题的值保存在一个表中。

二. 记忆化搜索

我们常见的动态规划问题，比如流水线调度问题，矩阵链乘问题等等都是“一步接着一步解决的”，即规模为 i 的问题需要基于规模 i-1 的问题进行最优解选择，通常的递归模式为DP(i)=optimal{DP(i-1)}。而记忆化搜索本质上也是DP思想，当子问题A和子问题B存在子子问题C时，如果子子问题C的最优解已经被求出，那么子问题A或者是B只需要“查表”获得C的解，而不需要再算一遍C。记忆化搜索的DP模式比普通模式要“随意一些”，通常为DP(i)=optimal(DP(j)), j < i。

三. 滑雪问题

上图显示为R*C的雪场，R是行数，C是列数。圆圈内的数字表示的是雪场的海拔高度h，根据常识我们知道，滑雪只有从上往下滑行才可能滑的动，现在我们想要求出能够滑行的最长距离，上面的例子我们可以很直接判断出25-24-......-1这个顺时针方向螺旋的滑雪方式可以滑的最远。

那么这个问题如何用编程来实现呢？我们发现这是一个典型的递推，DP(i, j)表示从坐标（i，j）出发所能滑行的最大长度，且有：DP(i, j)=optimal{DP(i±1, j±1)}+1。下面貼上源代碼。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 const int max_size=110;
 7 int R,C;
 8 int dir[4][2]={{-1,0},{0,1},{1,0},{0,-1}};
 9 int h[max_size][max_size],dp[max_size][max_size];
10 int inMap(int x,int y){
11     if(x>=0&&x<=R-1&&y>=0&&y<=C-1) return 1;
12     return 0;
13 }
14 int max2(int a,int b,int c,int d){
15     return max(max(a,b),max(c,d));
16 }
17 int dfs(int i,int j){
18     int nx,ny,down=0,up=0,left=0,right=0;
19     if(dp[i][j]) return dp[i][j];
20     nx=i+dir[0][0]; ny=j+dir[0][1];
21     if(inMap(nx,ny)){
22         if(h[i][j]>h[nx][ny]) up=dfs(nx,ny);
23     }
24     nx=i+dir[1][0]; ny=j+dir[1][1];
25     if(inMap(nx,ny)){
26         if(h[i][j]>h[nx][ny]) right=dfs(nx,ny);
27     }
28     nx=i+dir[2][0]; ny=j+dir[2][1];
29     if(inMap(nx,ny)){
30         if(h[i][j]>h[nx][ny]) down=dfs(nx,ny);
31     }
32     nx=i+dir[3][0]; ny=j+dir[3][1];
33     if(inMap(nx,ny)){
34         if(h[i][j]>h[nx][ny]) left=dfs(nx,ny);
35     }
36     dp[i][j]=max2(up,down,left,right)+1;
37     return dp[i][j];
38 }
39 int main(){
40     scanf("%d%d",&R,&C);
41     memset(h,0,sizeof(h));
42     memset(dp,0,sizeof(dp));
43     for(int i=0;i<R;i++){
44         for(int j=0;j<C;j++){
45             scanf("%d",&h[i][j]);
46         }
47     }
48     int ans=-1;
49     for(int i=0;i<R;i++){
50         for(int j=0;j<C;j++){
51             ans=max(ans,dfs(i,j));
52         }
53     }
54     printf("%d\n",ans);
55 }

四. 切棒子问题

给你一根长n英尺的棒子和一份关于该棒子的价目表如下（其中 i = 1,2,3,…,n），请问如何将这根棒子卖出最高的价格，可以对棒子进行切割。

这个题同样是可以利用DP记忆化搜索来实现的，递推公式为DP(n)=optimal{max{price(i)+DP(n-i)|1≤i≤n}}。实现代码如下：

1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 const int max_size=50;
 6 const int inf=1<<30;
 7 int price[max_size],dp[max_size];
 8 int n;
 9 int dfs(int n){
10     if(dp[n]) return dp[n];
11     if(n==0) return 0;
12     int mmax=-inf;
13     for(int i=1;i<=n;i++){
14         mmax=max(mmax,price[i]+dfs(n-i));
15     }
16     dp[n]=mmax;
17     return dp[n];
18 }
19 int main(){
20     while(scanf("%d",&n)!=EOF){
21         for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&price[i]);
22         printf("%d\n",dfs(n));
23     }
24 }

五. 01背包问题

问题描述: 有N件物品和一个重量为M的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的重量是w[i]，价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。思路也很简单，直接看代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int max_size=50;
const int inf=1<<30;
int p[max_size],w[max_size],dp[max_size][max_size];
int n,v;
int dfs(int i,int v){
    if(dp[i][v]) return dp[i][v];
    if(i==0||v<=0) return 0;
    if(w[i]>v) dp[i][v]=dfs(i-1,v);
    else dp[i][v]=max(dfs(i-1,v),dfs(i-1,v-w[i])+p[i]);
    return dp[i][v];
}
int main(){
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&p[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
        scanf("%d",&v);
        printf("%d\n",dfs(n,v));
    }
}

六. 总结

通过前两个例子分析，我们可以得出DP记忆化搜索的算法模板（自己DIY的，大家可以选择参考）

dfs(problem a){
    if(a has been solved) 
        then: consult the record.
    else//get the optimal solution of problem a.
        divide the problem a into several sub-problems(a1,a2,...,ak)
        get the solution of problem a by dfs(a1),dfs(a2),...,dfs(ak).
    finally write the optimal solution into record.
}