算法导论学习-线段树(2)
线段树（1）http://www.cnblogs.com/fu11211129/p/4230000.html
1. 线段树应用之动态点插与统计：
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线段树（1）中讲的应用是区段的插值与统计，我们在线段树结构体中接入cover之一域，cover等于0表示该节点所代表的区域并没有被完全覆盖，cover大于等于1表示该节点所代表区域已经被完全覆盖，用线段树（1）博客里面的图来说明一下：
如上图所示，我们最后统计的时候是找出cover不为零的节点，（再上图对应的是节点[3,4]. [5,6], [2], [4], [5], [7].),但是注意到[3,4]和[4] 还有[5,6]和[5]不能从重复统计，所以最后统计的长度是[2]+[3,4]+[5,6]+[7]=6.所以四根木条在墙上的总投影长是6.
现在我们可以来归纳一下区段插值的几个重要部分：首先是插入动作，比如插入[L, R]线段，插入动作需要递归的从根节点开始插入，而递归的出口就是找到能够和[L, R]完全匹配的线段树节点，即找到a[i].left==L AND a[i].right==R，并且同时将a[i].cover值加1.，递归终止。然后是删除动作，假设删除[L, R]，同样的也是要从根节点开始删除，也是要递归的找到与[L, R]完全匹配的线段树节点a[i]，并且将a[i].cover值减去1.最后是统计，仍然是从根节点开始递归的统计，递归的出口要么是找到的节点a[i]满足a[i].cover>=0，则返回该节点代表的区段长度。要么是找到叶子节点（a[i].left==a[i].right），如果叶子节点的cover不为0，则返回1，否则返回零。
以上是对区段插入的回顾，下面开始介绍动态点插与统计。所谓动态点插（其实是我自己DIY的，所以我就用图表示一下吧，大家理解就好）
如上图所示，1-8表示相互连接的8个槽，然后在这些草内的任意位置放置任意数量个小球，然后让你求出任意区段内[L, R]的小球数量。比如[2,3]区段内的小球数量是2，[1,6]区段内的小球数量是6。要解决这个问题，可以优良中办法，一种方法不用说也知道，暴力嘛，开一个数组A，然后更新数组的值。。这种做法当“槽”的范围过大时是效率很低的。所以这时候线段树再次派上用场了。我们还是用cover域来表示某个节点缩地阿彪范围的小球数量。比如根节点代表1-8槽的小球数量。
###第一步，建立线段树（http://www.cnblogs.com/fu11211129/p/4230000.html 里面有介绍，这里直接跳过）
###第二步，线段树插入（点插）
1 void updatePoint(int pos,int step){ 2 a[step].num++; 3 if(a[step].left==a[step].right&&a[step].left==pos) return;//leaf node 4 int mid=(a[step].left+a[step].right)/2; 5 if(pos<=mid) updatePoint(pos,step*2); 6 else updatePoint(pos,step*2+1); 7 }
我们可以看到，线段树点插动作是“一路插值的”，这也不难理解，比如我在第3个槽内放置一个球，那么显然的，节点[3].num=1,但同时的，节点[3,4],[1,2,3,4],[1,2,3,4,5,6,7,8]的num值也是为1.所以线段树点插可以理解记忆为：一路递归向下插值。
###第三步，线段树统计
1 int query(int L,int R,int step){ 2 if(L==a[step].left&&R==a[step].right){ 3 return a[step].num; 4 } 5 else{ 6 int mid=(a[step].left+a[step].right)/2,ans=0; 7 if(R<=mid) ans+=query(L,R,step*2); 8 else if(L>=mid+1) ans+=query(L,R,step*2+1); 9 else{ 10 ans+=query(L,mid,step*2)+query(mid+1,R,step*2+1); 11 } 12 return ans; 13 } 14 }
可以看到，线段树点插结果统计是按照区段来查询的，所以递归查询的出口也就是找到与之匹配的节点，然后返回相应的cover值，对应代码2-4行。如果与当前节点不匹配，则递归的“往下”查[6-8]，如果带查询区段在左右子树都有子结果，则返回两个子结果之和。
2. 线段树应用之区间最大最小值问题：
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1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 using namespace std; 5 const int max_size=100; 6 const int inf=1<<30; 7 struct segmentTree{ 8 int lc,rc,mi,mx; 9 }a[max_size*3]; 10 void buildTree(int L,int R,int rt){ 11 a[rt].lc=L; 12 a[rt].rc=R; 13 a[rt].mi=inf; 14 a[rt].mx=-inf; 15 if(L==R) return; 16 int mid=(a[rt].lc+a[rt].rc)/2; 17 buildTree(L,mid,rt*2); 18 buildTree(mid+1,R,rt*2+1); 19 } 20 void insert(int pos,int v,int rt){ 21 if(pos==a[rt].lc&&a[rt].lc==a[rt].rc){ 22 a[rt].mi=v; 23 a[rt].mx=v; 24 return; 25 } 26 int mid=(a[rt].lc+a[rt].rc)/2; 27 if(pos<=mid) insert(pos,v,rt*2); 28 else insert(pos,v,rt*2+1); 29 a[rt].mi=min(a[rt*2].mi,a[rt*2+1].mi); 30 a[rt].mx=max(a[rt*2].mx,a[rt*2+1].mx); 31 } 32 int query_min(int L,int R,int rt){ 33 if(L==a[rt].lc&&R==a[rt].rc) return a[rt].mi; 34 if(a[rt].lc<a[rt].rc){ 35 int mid=(a[rt].lc+a[rt].rc)/2,ret; 36 if(R<=mid) ret=query_min(L,R,rt*2); 37 else if(L>=mid+1) ret=query_min(L,R,rt*2+1); 38 else ret=min(query_min(L,mid,rt*2),query_min(mid+1,R,rt*2+1)); 39 return ret; 40 } 41 } 42 int main(){ 43 int n,m,q,p,v; 44 while(scanf("%d",&n)!=EOF){ 45 buildTree(1,n,1); 46 scanf("%d",&m); 47 for(int i=1;i<=m;i++){ 48 scanf("%d%d",&p,&v); 49 insert(p,v,1); 50 } 51 scanf("%d",&q); 52 while(q--){ 53 int a,b; 54 scanf("%d%d",&a,&b); 55 printf("%d\n",query_min(a,b,1)); 56 } 57 } 58 }
