算法导论学习-heapsort

heap的定义：如果数组a[1,....n]满足：a[i]>a[2*i] && a[i]>a[2*i+1]，1<=i<=n/2，那么就是一个heap，而且是max-heap

heap有两种，max-heap 和 min-heap，其中min-heap的性质与上面所述相反，即 a[i]<a[2*i] && a[i]<a[2*i+1].

这里以max-heap为例说明heap的三种基本操作，即Max-Heap-Maintenance, Build-Max-Heap, HeapSort.

1. Max-Heap-Maintenance

input：数组A和下标indice（i）　　output：维护以 i 为根的子树的max-heap性质。

Max-Heap-Maintenance的伪代码如下：

 

以一个例图来解释上述程序的运行过程：

 a) 图为heap的初始状态，现在执行程序Max-Heap-Maintenance（A，2）。node 2的值为4，比左孩子值14小，所以把A[2] 和 A[4]进行交换，这里虽然右孩子值为7，也比A[2]要大，但我们要找两个孩子中值最大的孩子，并且将父节点和它交换。交换完毕后，从被交换的孩子节点的位置出发，图中是A[4]，见图b），然后在该节点上重复上述操作，直至该节点是叶子节点，如图C），则终止程序。

2. Build-Max-Heap

 

因为每进行一次Max-Heap-Maintenance（i）操作，实际上都是建立以 i 为根节点的最大heap的一棵子树。所以我们自底向上建立最大heap，只有这样才能保证建立的heap具有max-heap性质。

3. Heap-Sort

首先先建立max-heap，但我们仍不能够根据max-heap得到排序结果，因为max-heap只能保证根节点值大于孩子节点的值，并没有孩子节点之间的大小关系比较。具体做法看伪代码+样例分析图。

最后贴上C++实现代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 int a[101];
 5 int array_size,heap_size;
 6 int left(int i){
 7     return 2*i;
 8 }
 9 int right(int i){
10     return 2*i+1;
11 } 
12 void Max_Heap_Maintenance(int i){
13     int l, r, largest=-1;
14     l=left(i);
15     r=right(i);
16     if(l>heap_size||r>heap_size) return;
17     if(l<=heap_size&&a[l]>a[i]){
18         largest=l;
19     }
20     else largest=i;
21     if(r<=heap_size&&a[r]>a[largest]){
22         largest=r;
23     }
24     if(largest!=i){
25         int tmp=a[largest];
26         a[largest]=a[i];
27         a[i]=tmp;
28         Max_Heap_Maintenance(largest);
29     }    
30 }
31 void Build_Max_Heap(){
32     heap_size=array_size;
33     for(int i=array_size/2;i>=1;i--){
34         Max_Heap_Maintenance(i);
35     }
36 }
37 void Heap_Sort(){
38     Build_Max_Heap();
39     for(int i=array_size;i>=2;i--){
40         int tmp=a[i];
41         a[i]=a[1];
42         a[1]=tmp;
43         heap_size--;
44         Max_Heap_Maintenance(1);
45     }
46     int tmp=a[2];
47     a[2]=a[1];
48     a[1]=tmp;
49 }
50 int main(){
51     while(scanf("%d",&array_size)!=EOF){
52         for(int i=1;i<=array_size;i++){
53             scanf("%d",&a[i]);
54         }
55         Heap_Sort();
56         for(int i=1;i<=array_size;i++){
57             printf("%d ",a[i]);
58         }printf("\n");
59     }
60     return 0;
61 }