Codeforces 850C - Arpa and a game with Mojtaba

850C - Arpa and a game with Mojtaba

题意

两个人玩游戏。初始给出一些数字，每次操作要求选择两个数 \((p,k)\) 使得 \(p^k\) 是某个数的因子，其中 \(p\) 是素数，\(k\) 是正整数。然后将所有包含这个因子的数除去这个因子，谁不能操作谁输。

分析

博弈问题。
注意到素数之间是无关联的，所以单独考虑每一个素数即可。对每一个素数计算\(sg\)值，最后全部异或起来即可。
\(sg\)函数相关讲解：关于 Nim 游戏与 SG 函数 的一点研究。
对于每一个素数，可以用一个二进制数 \(x\) 表示每一个次幂的因子是否存在。初始必败态 \(sg[0] = 0\)，每一个状态的后继状态为 \((x \gg (i + 1)) | (x \& ((1 \ll i) - 1))\) 。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 1e5 + 10;
int not_prime[MAXN];
vector<int> prime;
vector<int> nl[MAXN];
void init() {
    for(int i = 2; i < MAXN; i++) {
        if(!not_prime[i]) {
            prime.push_back(i);
            for(ll j = 1LL * i * i; j < MAXN; j += i) {
                not_prime[j] = 1;
            }
        }
    }
}
map<int, int> sg;
int dfs(int x) {
    if(!x) return 0;
    else if(sg.count(x)) return sg[x];
    set<int> s;
    for(int i = 0; i < 32; i++) if(x >> i)
        s.insert(dfs((x >> (i + 1)) | (x & ((1 << i) - 1))));
    for(int i = 0; ; i++) {
        if(!s.count(i)) return sg[x] = i;
    }
}
map<int, set<int> >  mp;
int main() {
    init();
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        for(auto p : prime) {
            if(x % p == 0) {
                int c = 0;
                while(x % p == 0) {
                    c++;
                    x /= p;
                }
                mp[p].insert(c);
            }
            if(!x) break;
        }
        if(x > 1) mp[x].insert(1);
    }
    int ans = 0;
    for(auto i : mp) {
        int x = 0;
        for(auto j : i.second) {
            x |= (1 << (j - 1));
        }
        ans ^= dfs(x);
    }
    cout << (!ans ? "Arpa" : "Mojtaba") << endl;
    return 0;
}