Codeforces 856C - Eleventh Birthday

856C - Eleventh Birthday

题意

给出一些数，问将这些组合起来形成的新数能被11整除的方案数。

分析

这里要用到关于\(11\)的一个性质。
判断一个数能否被\(11\)整除只需要奇数位的和减去偶数位上的和被\(11\)整除即可。
证明：对于\(1, 100, 10000 ...\)，模\(11\)后都为\(1\)，而\(10, 1000...\)模\(11\)后为\(10\)，又\(-1\)与\(10\)模\(11\)同余，所以只需要考虑奇偶数位上的和之差即可。
在加入某个数之前，如果前面已经有长度为奇数的数了，那么加入的这个数模\(11\)的和应该取负。实际上我们也不用去处理输入的数，如果前面是偶数长度的数，直接加上取模后的数即可。
进一步分析，对于奇数长度的数，假设有\(cnt\)个，那么一定有\(\left \lfloor \frac{cnt}{2} \right \rfloor\)个数取负号，可以用 \(dp\) 求解仅有奇数长度的数的方案数。
对于偶数长度的数，如果没有奇数长度的数存在，那么方案数要么为 \(n!\) 要么为 \(0\) ， 否则 \(dp\) 求解将偶数长度的数插入到奇数长度的数中的方案数。
最后除了奇数长度的数不存在这种情况，偶数长度的数的正负性都是任意的，所以要枚举所有的可能性。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 2e3 + 10;
const ll MOD = 998244353;
int n;
vector<int> odd, even;
ll dp_odd[2][MAXN][11];  // dp_odd[i][j][k]:  前i个奇数长度的数选择了j个负数后余数为k的方案数
ll dp_even[2][MAXN][11]; // dp_even[i][j][k]: 前i个偶数长度的数选择了j个负数后余数为k的方案数
int isOdd(int x) {
    int cnt = 0;
    while(x) {
        cnt++;
        x /= 10;
    }
    return cnt & 1;
}
void solve() {
    // 对于奇偶数长度的数分开考虑
    // 对于奇数长度的数，一定有 size / 2 个数为负数，其余为正数
    int negative_odd = odd.size() / 2;
    int o = 1;
    memset(dp_odd[o], 0, sizeof dp_odd[o]);
    dp_odd[1][0][0] = 1;
    for(int i = 0; i < odd.size(); i++) {
        o ^= 1;
        memset(dp_odd[o], 0, sizeof dp_odd[o]);
        for(int j = 0; j <= min(i, negative_odd); j++) {
            int negative = negative_odd - j; // 还有几个位置可以放负数
            int postive = odd.size() - i - negative; // 还有几个位置可以放正数
            if(postive > 0) for(int k = 0; k < 11; k++) {
                (dp_odd[o][j][(k + odd[i]) % 11] += dp_odd[o ^ 1][j][k] * postive) %= MOD;
            }
            if(negative > 0) for(int k = 0; k < 11; k++) {
                (dp_odd[o][j + 1][((k - odd[i]) % 11 + 11) % 11] += dp_odd[o ^ 1][j][k] * negative) %= MOD;
            }
        }
    }
    int e = 1;
    memset(dp_even[e], 0, sizeof dp_even[e]);
    dp_even[1][0][0] = 1;
    // 插入偶数长度的数，只要存在奇数长度的数，那么偶数长度的数正负任意
    for(int i = 0; i < even.size(); i++) {
        e ^= 1;
        memset(dp_even[e], 0, sizeof dp_even[e]);
        for(int j = 0; j <= i; j++) {
            // 考虑可以放负数的位置：当j=0时，显然只能在奇数个奇数长度的数后面放；j>0时每有一个已经放好的数，又能多提供一个位置
            int negative = !odd.size() ? 0 : j + (odd.size() + 1) / 2;
            int postive = odd.size() + i + 1 - negative;
            if(postive > 0) for(int k = 0; k < 11; k++) {
                (dp_even[e][j][(k + even[i]) % 11] += dp_even[e ^ 1][j][k] * postive) %= MOD;
            }
            if(negative > 0) for(int k = 0; k < 11; k++) {
                (dp_even[e][j + 1][((k - even[i]) % 11 + 11) % 11] += dp_even[e ^ 1][j][k] * negative) %= MOD;
            }
        }
    }
    ll res = 0;
    // 因为偶数长度的数的正负数的个数是不确定的，所以要枚举出所有的可能性
    for(int i = 0; i <= even.size(); i++) {
        for(int k = 0; k < 11; k++) {
            (res += dp_odd[o][negative_odd][k] * dp_even[e][i][(11 - k) % 11]) %= MOD;
        }
    }
    cout << res << endl;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
    int T;
    cin >> T;
    while(T--) {
        odd.clear(); even.clear();
        cin >> n;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            int x;
            cin >> x;
            if(isOdd(x)) odd.push_back(x);
            else even.push_back(x);
        }
        solve();
    }
    return 0;
}