CF2002D2 DFS Checker (Hard Version) 题解

https://codeforces.com/problemset/problem/2002/D2

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考虑找一个容易维护的必要条件，再证明充分性。我们希望这个条件在 swap 后需要重新 check 的不多

每个子树对应一个区间，子树根位于左端点

父子

自下而上地 check 每个子树都合法

父子 $u,v$ 满足 $dfn[u]<dfn[v]\wedge dfn[v]+siz[v]-1\le dfn[u]+siz[u]-1$

只需要 check $min\{dfn[v]\},max\{dfn[v]+siz[v]-1\}$，multiset 维护

时间复杂度 $O((n+q)\log n)$

相邻位置

相邻的结点 $p_{i-1},p_i$ 有两种情况：$fa[p_i]=p_{i-1}$；叶子 $p_{i-1}$ 在子树 $fa[p_i]$ 中，回溯到 $fa[p_i]$（$fa[p_i]$ 的 $p_{i-1}$ 方向的子树搜完了），再递归到 $p_i$

事实上不需要括号中的条件

$p_1=1$，$p_{i-1}$ 在子树 $fa[p_i]$ 中

Pf. 对于子树 $u$，满足 $p_{i-1}$ 不在子树 $u$ 中且 $p_i$ 在子树 $u$ 中的位置只有一个 $p_i=u$（只有子树 $fa[u]$ 中有不在子树 $u$ 中的点）

时间复杂度 $O(n+q)$