2023 ICPC 合肥题解

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D. Balanced Array $\star$

赛时做法

枚举前缀维护合法的 $k$

感性上 $k$ 越大需要满足的式子越少，只保留最大的 $\log$ 个 $k$，可以通过

std

枚举 $k$，合法的 $l$ 一定是一个左端点为 $2k+1$ 的区间，二分右端点
等式 $\mathrm{\forall }1\le i\le l-2k,a_i+a_{i+2k}=2a_{i+k}$ 两边都是关于 $a_i$ 的线性函数，等价于判断 $hash(1,l-2k)+hash(1+2k,l)=2hash(1+k,l-k)$

从小到大枚举 $k$，对应合法区间的左端点递增，某种意义上可以看作对应一个合法前缀。维护已知合法的最长前缀 $l$，尝试用当前 $k$ 延申 $l$
时间复杂度 $O(n)$

K. Campus Partition $\star$

“连通块次大值”是难以刻画的信息，注意到可以只保留最大值到次大值的链，转化为“链端点较小值”

考虑 dp，在 lca 处合并链。设 $f[u,i]$ 表示子树 $u$、经过 $u$ 的链一端权值为 $i$ 的答案，$g[u]$ 为子树 $u$ 的答案

$$f[u,i]=max(f[u,i]+g[v],\sum _{w\text{ is }u\text{'s son before }v}g[w]+f[v,i])$$

$$g[u]=max(g[u]+g[v],f[u,i]+f[v,j]+min(i,j))$$

线段树合并维护 $f$

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