卡特兰数
Catalan
公式
\[C_{n}={2n\choose n}-{2n\choose n-1}=\frac{{2n\choose n}}{n+1}
\]
\[C_{n}=\begin{cases}
1 & n=0,1 \\
\sum_{i=1}^{n}C_{i-1}C_{n-i} & n>1
\end{cases}
\]
前几项（从 \(0\) 开始）：\(1,1,2,5,14,42\)
组合意义
- \(n\) 个 \(1,-1\) 组成长为 \(2n\) 的数列，满足任意前缀和非负的方案数
- 进栈序列 \(1,\cdots,n\)，出栈序列数（LG1044 [NOIP2003普及组] 栈）
- \(n\) 个点的二叉树种数
- \(n+1\) 个叶子，非叶节点都有两个儿子的二叉树种数
- 凸 \(n\) 边形三角剖分数
- 圆上 \(2n\) 个点连 \(n\) 条不相交线段的方案数
- \(\cdots\)
题单
关键在于抽象出模型/推出公式，打表也是一个好方法
LG2532 [AHOI2012] 树屋阶梯
LG3200 [HNOI2009] 有趣的数列
由限制 \(2,3\) 可得 \(a_{2i}\ge2i\)。
考虑将 \(1\cdots2n\) 依次放入最靠左的奇数项或偶数项，这样一定满足限制 \(2\)
再要求每次放数后已放的偶数项不多于奇数项，就满足了限制 \(3\)。（设第一个不满足的数为 \(2p+1\)，由于前 \(2p\) 个数占满前 \(2p\) 个位置，那么 \(2p+1\) 一定放在 \(2p+2\)，此后 \(2p+1\) 放任何数都不合法）
格路计数
基本模型：从 \((0,0)\) 开始，每次可以想右上/右下走一格，求走到 \((n+m,n-m)\) 的方案数
- 无特殊限制：\({n+m\choose m}\)
- 纵坐标始终 \(\ge0\)：\({n+m\choose m}-{n+m\choose m-1}\)（\(n=m\) 时为 \(C_{2n}\)）
