2023 百度之星决赛题解

T4 传信游戏

建反向边，从入度为 $0$ 的结点开始搜

T5 喵喵卫士，全靠你了$\star$

考虑暴力枚举每个点的深度，发现只要知道相邻两层的深度就能用组合数算方案数，自然想到按层 DP，把上一层的点数记到状态里

赛时做法

按深度从小到大 DP 的话想要记录每个点是否被用过，以保证深度达到上界时它已经被加入，这是无法接受的

在一个前缀上可用，考虑倒序做。设 $f[i,j,k]$ 表示构造好了深度 $\ge i$ 的部分，深度为 $i$ 的有 $j$ 个点，还剩下 $k$ 个点可用，容易枚举当前深度的点数转移

时间复杂度 $O(n^4)$

std

其实是可以正着做的。先将 $A$ 排序，预处理 $g[i]$ 表示要求深度 $\le i$ 的点数

设 $f[i,j,k]$ 表示构造好了深度 $\le i$ 的部分，深度为 $i$ 的有 $j$ 个点，一共用了 $k$ 个点。这里先令用过的点编号为 $1\sim k$，之后再重新分配
枚举第 $i+1$ 的点数 $l$。注意到已经有确定的 $g[i]$ 个点深度 $\le i$，所以只能把 $k+l-g[i]$ 个编号分配到前 $i$ 层和第 $i+1$ 层

T7 这一击贯穿星辰

std

预处理 $i$ 点体力能够达到的 $A\times B$ 的最大值 $f[i]$，$100+C$ 的最大值 $g[i]$
可以证明 $D$ 增大时分配给 $100+C$ 的体力值是单增。决策单调性

凸包

分配 $i$ 点体力给 $A\times B$ 的答案为 $f[i](g[m-i]-D)=-Df[i]+f[i]g[m-i]$。凸包

T8 小度的双色球

从颜色和盒子两个角度考虑。精细实现可以做到时间 $O(n\sqrt{n})$，空间 $O(n)$，并避免使用哈希表

T9 寻宝

二分答案。考虑计算被偷走的价值 $\le mid$ 最少需要多少名警员

如果 $c[i]+d[i]>mid$，那么先放 $a[i]$ 个，这样只能偷钻石。考虑最小割，用 $S$ 到 $T$ 的路径代表小偷可能的移动路径

• 如果 $d[i]>mid$：$(S,i,b[i]-a[i])$
• 如果原图中 $i,j$ 相邻：$(i,j,+\mathrm{\infty })$
• 如果 $c[i]+d[i]\le mid$：$(i,T,a[i])$

std 的想法是每个点只有 不放 或 放 $a[i]orb[i]$ 个，用割与 $S$ 或 $T$ 的连边代表放或不放两种情况