【模板】数学

数论

打表

\(\omega\) 为不同质因子个数，\(d\) 为约数个数

\(n\le\)	\(10^1\)	\(10^2\)	\(10^3\)	\(10^4\)	\(10^5\)	\(10^6\)	\(10^7\)	\(10^8\)	\(10^9\)
\(\max\{\omega(n)\}\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(8\)	\(9\)
\(\max\{d(n)\}\)	\(4\)	\(12\)	\(32\)	\(64\)	\(128\)	\(240\)	\(448\)	\(768\)	\(1344\)

\(n\le\)	\(10^{10}\)	\(10^{11}\)	\(10^{12}\)	\(10^{13}\)	\(10^{14}\)	\(10^{15}\)	\(10^{16}\)	\(10^{17}\)	\(10^{18}\)
\(\max\{\omega(n)\}\)	\(10\)	\(10\)	\(11\)	\(12\)	\(12\)	\(13\)	\(13\)	\(14\)	\(15\)
\(\max\{d(n)\}\)	\(2304\)	\(4032\)	\(6720\)	\(10752\)	\(17280\)	\(26880\)	\(41472\)	\(64512\)	\(103680\)

组合数学

线性代数

凸包

求 \(\max_{i}\{kx_{i}+y_{i}\}\)。\(x_{i},y_{i},k\) 为 int

对 \((x_{i},y_{i})\) 建上凸包，查询斜率为 \(-k\) 的直线的最大截距

• 静态建

struct Vec {
	LL x,y; Vec(LL x=0,LL y=0):x(x),y(y){}
	bool operator < (const Vec &rhs) { return x!=rhs.x ? x<rhs.x : y<rhs.y; }
	Vec operator - (const Vec &rhs) { return {x-rhs.x, y-rhs.y}; }
	LL operator & (const Vec &rhs) { return x*rhs.y-y*rhs.x; } // 叉乘
};

Vec s[N]; int t = 0;
sort(all(p));
for(auto i : p) {
	while( t > 1 && (s[t]-s[t-1]&i-s[t-1]) >= 0 ) --t;
	s[++t] = i;
}

• 双指针查询

sort(all(q),[](int x,int y){return k[x]<k[y];});
int j = 1;
for(int i : q) {
	auto f=[&](int j) { return k[j]*s[i].x+s[i].y; };
	while( j < t && f(j+1) > f(j) ) ++j;
	ans[i] = f(j);
}

• 二分查询

拉格朗日插值

\(n+1\) 个点值确定一个 \(n\) 次多项式

\[f(x)=\sum_{i=1}^{n+1}y_{i}\prod_{j\ne i}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} \]