Kummer 定理
\(n!\) 中含素数 \(p\) 的幂次为 \(\displaystyle\sum_{i=1}\lfloor\frac{n}{p^{i}}\rfloor\)
Kummer 定理:\({n+m\choose n}\) 中含素数 \(p\) 的幂次等于 \(p\) 进制下 \(n+m\) 的进位次数
证明:由 \(\displaystyle{n+m\choose n}=\frac{(n+m)!}{n!m!}\) 得答案为 \(\displaystyle\sum_{i=1}\left(\lfloor\frac{n+m}{p^{i}}\rfloor-\lfloor\frac{n}{p^{i}}\rfloor-\lfloor\frac{m}{p^{i}}\rfloor\right)\),而 \(\displaystyle\lfloor\frac{n+m}{p^{i}}\rfloor-\lfloor\frac{n}{p^{i}}\rfloor-\lfloor\frac{m}{p^{i}}\rfloor\) 就是第 \(i-1\) 位的进位次数
推论:\(\displaystyle p\mid{p^{k}\choose m},0\le m<p^{k}\)