深入浅出程序设计竞赛（进阶篇）进阶数据结构

第五章 二叉堆

P2168 [NOI2015] 荷马史诗

哈夫曼树

P2827 [NOIP2016 提高组] 蚯蚓

找最长的蚯蚓只需要直到相对大小，其余蚯蚓长度 $+q$ 等价于新产生的两条蚯蚓长度 $-q$

新产生的第一/二条蚯蚓长度分别单调，可以用队列代替堆

时间复杂度 $O(n\log n+m)$

P1801 黑匣子

对顶堆

P1631 序列合并

$a,b$ 不降所以 $a[i]+b[j]$ 一定比 $a[i+1]+b[j],a[i]+b[j+1]$ 优

用堆维护可能成为答案的数对，取出 $(i,j)$ 后放入 $(i+1,j),(i,j+1)$

P4053 [JSOI2007] 建筑抢修

反悔贪心

第六章 线段树

P1438 无聊的数列

区间加等差数列

懒标记记录（首项，公差），下传时可以根据左子区间长度算出右子区间的首项，合并时首项、公差对应相加即可

P3373 【模板】线段树 2

有乘、加两个标记，记作 $(k,b)$。比较自然的想法是让值为 $ka+b$，$\times x$ 后 $(ka+b)x=kxa+bx$，$+x$ 后 $(ka+b)+x=ka+(b+x)$，仍然可以用 $(k,b)$ 表示

$ka+b$ 经过 $(k^{\prime },b^{\prime })$ 作用时需要考虑下传顺序。注意到下传乘标记时加标记也乘了，所以应该先乘后加得到 $(ka+b)k^{\prime }+b^{\prime }$

P4513 小白逛公园

区间最大子段和

维护区间最大子段和、最大前缀和、最大后缀和、区间和

P4145 上帝造题的七分钟 2 / 花神游历各国

${10}^{12}$ 开方下取整 $6$ 次就变成 $1$ 了，之后的开方都没有意义

其实不需要线段树，并查集 + BIT 即可

第七章 树状数组与字典树

lowbit(x) = x&-x：$-x$ 的补码是 $x$ 按位取反再 $+1$，那么 $x$ 末尾连续的 $0$ 取反 $+1$ 后恰好进位到 lowbit(x)

如果结点 $j$ 包含位置 $i$ 的信息，那么：

• $j\ge i$
• $\text{lowbit}(j)\ge \text{lowbit}(i)$（$j=i$ 时取等）：考虑 $[j-\text{lowbit}(j)+1,j]$ 中的所有数
• 这些 $j$ 的 lowbit 互不相等：lowbit 相等的结点覆盖的区间无交

P5283 [十二省联考 2019] 异或粽子

$n$ 个数。给定 $i$，求 $a[i]\oplus a[j]$ 的第 $k$ 大值

trie 上维护每个子树的数字数量，查询类似线段树二分

P2161 [SHOI2009] 会场预约

sol

P3586 [POI2015] LOG

先让 $c$ 减掉 $\ge s$ 的 $a[i]$ 个数，之后只考虑 $<s$ 的 $a[i]$

结论：只要 $\sum a[i]\ge cs$ 就可行
证明：考虑构造 $s$ 行 $c$ 列的表格，每行的 $c$ 个数表示要 $-1$ 的下标，从上到下、从左到右填表即可。$\sum a[i]\ge cs$ 保证了能填满，$a[i]<s$ 保证了一行不会有两个相同数

P4592 [TJOI2018] 异或

DFS 序上的可持久化 01trie 实现子树询问
根链上的可持久化 01trie 配合树上差分实现链询问

第八章 线段树的进阶用法

P4587 [FJOI2016] 神秘数

对于给定可重集，从小到大依次考虑数 $x$：设 $r$ 是当前最小的不能被表示的数，若 $x\le r$，那么 $r\leftarrow r+x$，否则答案就是 $r$
据此得出做法：设 $r^{\prime }$ 为上次最小的不能被表示的数，$(r^{\prime },r]$ 中的数都可以累加进 $r$ 中，没有数可以累加则结束。每次累加的数 $>r^{\prime }$，最多累加 $\log a$ 次

P3293 [SCOI2016] 美味

求 $\underset{i=l}{\overset{r}{max}}\{b\oplus a[i]+x\}$

仍然是从高到低逐位贪心。设 $b$ 的第 $i$ 位为 $1$，当前确定的答案为 $b\oplus c$，若 $[c-x,c-x+2^i-1]$ 中有数那么不操作，否则令 $c\leftarrow c+2^i$

时间复杂度 $O(m\log a\log n)$

CF960F Pathwalks

有向图上边的 LIS

P2617 Dynamic Rankings

动态区间第 $k$ 大

P2839 [国家集训队] middle

把 $<mid$ 的数看作 $-1$，$\ge mid$ 的看作 $1$，区间和 $\ge 0$ 代表中位数 $\ge mid$。可以通过对值域建主席树实现

二分答案 $mid$。求 $[a,b]$ 最大后缀和 $+(b,c)$ 区间和 $+[c,d]$ 最大前缀和即可判断

P5445 [APIO2019] 路灯

sol