深入浅出程序设计竞赛（基础篇）

一、语言入门

1. 简简单单写程序

2. 顺序结构程序设计

P5705 【深基2.例7】数字反转

scanf("%c%c%c.%c",&a,&b,&c,&d);

P1425 小鱼的游泳时间

把时间转换成距 $00:00$ 经过了多少分钟

P5708 【深基2.习2】三角形面积

三角形三边长 $a,b,c$，面积 $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中 $p=\frac{a+b+c}{2}$

3. 分支结构程序设计

例 3-2

运算符优先级：

4. 循环结构程序设计

5. 数组与数据批量存储

P2615 [NOIP2015 提高组] 神奇的幻方

6. 字符串与文件操作

例 6-3

strcpy(s,"hello")

例 6-4

fgets(s,sizeof(s),stdin);
sscanf(s,"%d",&a);
sprintf(s,"%d",a);

例 6-7

char ch[10];
string s;
strcpy(ch,s.c_str()); // strncpy(ch,s.c_str(),10);
s = ch

P1598 垂直柱状图

值得一写

7. 函数与结构体

P1304 哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想：任一大于 $2$ 的偶数都可以写成两个素数之和

二、初涉算法

8. 模拟与高精度

P1249 最大乘积

高精度的部分不再赘述，只考虑怎么分解

DP

取对数把乘积变成加法就可以用低精度背包得到决策

贪心

首先有 $n(n+1)>(n-1)(n+2)$，据此不断调整可以得到答案为 $2,3,\cdots ,x,x+2,x+3,\cdots y$

一种构造方法是找到最大的 $\sum _{i=2}^{m}i\le n$，然后从 $m$ 开始逐个 $+1$ 至和为 $n$

P1045 [NOIP2003 普及组] 麦森数

$2^p$ 的个位一定 $\ne 0$，所以 $-1$ 很好处理

解方程 $2^p={10}^q$ 可以得到位数为 $\lfloor p\lg 2\rfloor +1$

后 $500$ 位可以高精快速幂，也可以高精乘低精（不压位，每次乘 $2^{27}$）

9. 排序

P1116 车厢重组

冒泡排序交换相邻项次数 $=$ 逆序对数

P1012 [NOIP1998 提高组] 拼数

邻扰

10. 暴力枚举

P2241 统计方形（数据加强版）

矩形的数量为 $\frac{n(n+1)m(m+1)}{4}$
边长 $i$ 的正方形的数量为 $(n-i+1)(m-i+1)$
长方形数量为矩形数量减正方形数量

时间复杂度 $O(n)$

P1088 [NOIP2004 普及组] 火星人

next_permutation(begin(),end())

P1217 [USACO1.5] 回文质数 Prime Palindromes

回文数只有 $O(\sqrt{b})$ 个，所以可以打表

除 $11$ 外，偶数位回文数一定不是质数

11. 递推与递归

P1044 [NOIP2003 普及组] 栈

卡特兰数

P1028 [NOIP2001 普及组] 数的计算

递归的常数优于递推，因为不需要计算 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +1\cdots n-1$

P1259 黑白棋子的移动

容易从 $n$ 递归到 $n-1$

oo...oo**...**--
oo...o--*...**o*
oo...o***...--o*

从 $n\ge 4$ 可以猜出递归边界就是 $n=4$，手玩出来

oooo****--
ooo--***o*
ooo*o**--*
o--*o**oo*
o*o*o*--o*
--o*o*o*o*

P1228 地毯填补问题

公主的存在使得基本图形是缺一个角的正方形

把大正方形均分成四个小正方形，递归填公主所在的小正方形，中间放一个地毯就使剩下三个小正方形也缺了一个角

12. 贪心

经典模型：

• P1223 排队接水
• P1803 凌乱的yyy / 线段覆盖
• P1090 [NOIP2004 提高组] 合并果子 / [USACO06NOV] Fence Repair G
• P3817 小A的糖果
• P1106 删数问题
• P5019 [NOIP2018 提高组] 铺设道路
• P1094 [NOIP2007 普及组] 纪念品分组
• P4995 跳跳！
• P1080 [NOIP2012 提高组] 国王游戏

哈夫曼编码

P4447 [AHOI2018初中组] 分组

sol 1

二分答案

check 时从小到大尝试把连续 $mid$ 个分到一组。分完后把剩下的数尝试接在已有组的后面，如果有数不能接在任意一组后面那么不可行

sol 2

从小到大考虑每个数，每组可以用 $(len,end)$ 表示（长度，最后一个数）

对于数 $x$，把它接在 $end=x-1$ 且 $len$ 最小的组中，不能接到任意一组后面那么新建组

sol 3

13. 二分查找与二分答案

P1163 银行贷款

题意

利率可能 $>1$，二分需要注意上界

倍增代替二分答案：设置当前答案 $x$ 和增量 $k$。如果 $x+k$ 可行，那么令 $x\leftarrow x+k,k\leftarrow 2k$，否则令 $k\leftarrow \frac{k}{2}$。$k<ϵ$ 时结束

14.搜索

数独

P1162 填涂颜色

sol 1

从边界的 $0$ 开始搜，未被搜到的 $0$ 就是在圈中的

sol 2

先按行数从小到大，再按列数从小到大，找到的第一个 $1$ 的右下角一定是圈中的 $0$，从这个 $0$ 开始搜即可

三、简单数据结构

15. 线性表

P1449 后缀表达式

后缀表达式/逆波兰式：运算符在参数之后，严格从左到右计算（没有括号，不考虑优先级）

16. 二叉树

P1827 [USACO3.4] 美国血统 American Heritage

• 前序遍历：根左右
• 中序遍历：左根右
• 后序遍历：左右根

前序遍历的第一个位置是根，中序遍历中以根为分界分成左右子树

表达式树

叶子是参数，非叶子是运算符，自底向上用根的运算符合并子树的值就能得到表达式的值

若所有运算都是双目运算，则表达式树是二叉树。前/中/后序遍历是前/中/后缀表达式

P1229 遍历问题

前后序相同而中序不同只有一种情况：只有一个儿子的结点，该儿子位于左/右子树

问题转化为求只有一个儿子的结点数。易证 $u$ 只有一个儿子的充要条件是前序存在 $uv$ 且后序存在 $vu$

习题 16-3

P1185 绘制二叉树

设 $i$ 层结点的满二叉树的根在 $f[i]$ 列，叶子在 $g[i]$ 行。观察可得 $f[1]=1,f[2]=3,f[i]=2f[i-1],g[1]=1,g[i]=g[i-1]+f[i]-f[i-1]$

容易得到需要的坐标/长度，模拟

17. 集合

18. 图的基本应用

P3916 图的遍历

建反图。从 $n$ 到 $1$ 枚举，标记能到达的点。每个点第一次被标记时就是答案

P2661 [NOIP2015 提高组] 信息传递

每个点只有一条出边意味着每个连通块中有且仅有一个环

P1127 词链

P1330 封锁阳光大学

每条边必须且仅能选一个端点，所以任意一条链都是 选-不选-选-不选 交替，有奇环则无解

因此一个连通块的答案是二分图左右部中较小的点数

P1363 幻象迷宫

显然如果当前棋盘和相邻棋盘都能走到 $(i,j)$ 那么 yes
把坐标模 $n,m$ 转化为只在一个棋盘上走

一开始的想法是从 s 能走到环就 yes。hack：相邻的四个棋盘形成一个环

5 5
#.#.#
..#..
#####
.S#..
#.#.#

正解是记录走到 $(i,j)$ 能否走到，如果两次走到 $(i,j)$ 且模之前的坐标不同那么 yes

四、基础数学与数论

19. 位运算与进制转换

负数的二进制

反码：把绝对值的二进制取反
补码：反码 $+1$。全 $0$ 表示 $0$，全 $1$ 表示 $-1$

减法：

小数的二进制

逻辑命题

徳·摩根定律：$\bar{A}+\bar{B}=\overline{AB},\bar{A}\cdot \bar{B}=\overline{A+B}$

实现了一定条件下与和或的转化

P1017 [NOIP2000 提高组] 进制转换

$n=a(-R)+b$ 的思路不变

被除数 $=$ 商 $\times$ 除数 $+$ 余数，把商 $+1$ 就能把余数调成正数

20. 计数原理与排列组合

P1866 编号

限制关系是包含的，从强到弱考虑

P2789 直线交点数

设 $f[i,j]$ 表示 $i$ 条直线形成 $j$ 个交点是否可行，转移枚举接下来 $k$ 条直线平行（不与已有的直线平行），新增 $ik$ 个交点

bitset 优化，时间复杂度 ${\displaystyle O(\frac{n^4}{\omega })}$

21. 整除理论

P1414 又是毕业季II

考虑每个值是多少个数的约数

P2651 添加括号III

$a[1]$ 肯定是分子，$a[2]$ 肯定是分母，构造 $a[1]/(a[2]/a[3]/\cdots /a[n])$，仅有 $a[2]$ 是分母。判断能否将 $a[2]$ 约分为 $1$ 即可

P2660 zzc 种田

设宽为 $n$，长为 $m$ 的答案为 $4f(n,m)$
结论：每次删边长为 $n$ 的正方形最优，即 $f(n,m)=f(n,m-n)+n$
边界是 $f(0,gcd(n,m))=0$，所以 $f(n,m)=n+m-gcd(n,m)$
反证：如果所有正方形边长都 $<n$，那么两条长边由不同的正方形覆盖，代价至少是 $2m$