2023 牛客多校

7.17

我正开，D
gjk 倒开，AHJKLM

A - Almost Correct

设 \(s\) 中 \(0\) 的下标集合为 \(S_{0}\)，\(1\) 的为 \(S_{1}\)，最右边的 \(0\) 的下标 \(r\)，最左边 \(1\) 的下标 \(l\)。\(s\) 没有排好序所以 \(l\le|S_{1}|<r\)

1. \(\forall i\in S_{0},(i,r)\)
   \(\forall i\in S_{1},(l,i)\)
2. 把 \(\{1,2,\cdots n\}\setminus\{l,r\}\) 排序
3. \((|S_{0}|+1,r),(|S_{0}|+2,r),\cdots,(r-1,r),(r,n),(r,n-1),\cdots,(r,r+1)\)
   \((l,|S_{0}|),(l,|S_{0}|-1),\cdots,(l,l+1),(1,l),(2,l),\cdots,(l-1,l)\)

操作次数 \(n-2+\frac{(n-2)(n-3)}{2}+n-2=119\)

证明：

• 对于 \(s\)：第二步后 \(\{1,2,\cdots,|S_{0}|\}\setminus\{l\}\cup\{r\}\) 为 \(0\)，其余位置为 \(1\)。第三步会 \(swap(|S_{0}|+1,r),swap(l,|S_{0}|)\)，形成 \(00\cdots01011\cdots1\)
• 对于 \(t\ne s\)，\(|T_{0}|\ge |S_{0}|\)：\(S_{1}\) 中一定有一个位置为 \(1\)，第一步会使 \(t[l]=0\)。第二步后前 \(|S_{0}|\) 个位置都为 \(0\)，\(t[1,r-1],t[r+1,n]\) 分别有序。第三步若 \(t[r]=0\)，会与最左边的 \(1\) 交换，若 \(t[r]=1\)，会与最右边的 \(0\) 交换
• 对于 \(t\ne s\)，\(|T_{1}|>|S_{1}|\)：同理

C - Carrot Trees

只有最后一次询问所以放弃在线维护考虑全局

对于一个位置，设第 \(i\) 次操作后 \(a_{i}=c_{i}+b_{i}k\)，操作转化为：

• 操作一：\(c_{i+1}=c_{i}+x,b_{i+1}=b_{i}\)
• 操作二：\(c_{i+1}=c_{i}-k\)
  • 若 \(a_{i}\ge k\)：\(b_{i+1}=b_{i}\)
  • 否则：\(b_{i+1}=b_{i}+1\)

\(b_{m}\) 就是该位置操作二失败的次数，问题转化为求 \(b_{m}\)

设 \(\displaystyle mn_{i}=\min_{j=1}^{i}\{c_{j}\}\)，则 \(\displaystyle b_{m}=\lceil-\frac{mn_{m}}{k}\rceil\)

归纳证明：

• 操作一：\(\displaystyle c_{i+1}>c_{i},mn_{i+1}=mn_{i}\Rightarrow b_{i+1}=b_{i}=\lceil-\frac{mn_{i}}{k}\rceil=\lceil-\frac{mn_{i+1}}{k}\rceil\)
• 操作二：
  • \(a_{i}\ge k\Leftrightarrow c_{i+1}=c_{i}-k\ge-b_{i}k\)：\(b_{i+1}=b_{i}\le-\frac{c_{i}}{k}+1\)

D - Chocolate

假设先手拿 \((1,1)\)，若后手拿 \((i,j)\) 必胜则先手可以第一次就拿 \((i,j)\) 抢走必胜态

\(n=m=1\) 后手胜