p范数（p norm）

先回顾一下范数的定义（en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics)）：

Given a vector space V over a subfield F of the complex numbers, a norm on V is a function p: V → R with the following properties:^[1]

For all a ∈ F and all u, v ∈ V,

1. p(av) = |a| p(v), (absolute homogeneity or absolute scalability).
2. p(u + v) ≤ p(u) + p(v) (triangle inequality or subadditivity).
3. If p(v) = 0 then v is the zero vector (separates points).

By the first axiom, absolute homogeneity, we have p(0) = 0 and p(-v) = p(v), so that by the triangle inequality

p(v) ≥ 0 (positivity).

 

经常会听到p范数（p norm）的说法，其实很简单，可以看成2范数的扩展，但是有一点需要注意：p的范围是[1, inf)。p在(0,1)范围内定义的并不是范数，因为违反了三角不等式（||x+y|| <= ||x|| + ||y||，此处x和y是向量，后面出现x和y的地方也是向量，不再赘述）。见下面wikipedia的截图

 

在p范数下定义的单位球（unit ball）都是凸集（convex set，简单地说，若集合A中任意两点的连线段上的点也在集合A中，则A是凸集），但是当0<p<1时，在该定义下的unit ball并不是凸集（注意：我们没说在该范数定义下，因为如前所述，0<p<1时，并不是范数）.下图展示了p取不同值时unit ball的形状

 

 

当0<p<1时，上面类似p范数的定义不能对任意两点满足三角不等式，也就是说，存在两点，它们不满足三角不等式。这个论断证明起来很简单，只要找出两个这样的点就行了。

在一维空间中，按照p范数的定义，三角不等式总是成立。于是我们可以考虑在二维空间选点（因为二维空间比较简单），考虑特殊一点的，比如，取x=(0,1), y=(1,0)

||x|| = 1， ||y|| = 1，||x+y|| = 2^(1/p) > 2 == ||x|| + ||y||，这就是一个违反三角不等式的例子，证毕。

对于更高维空间都可以取类似的例子，比如三维就取(0,0,1), (0, 1, 0), (1,0,0)

 

下面的python(ver 2.7)代码可以用来画p取不同值时的unit ball：

import numpy as np
from matplotlib.pyplot import *

figure(); hold(True)
r = 1
linestyle = ['b-','k-','m-','r-','y-']
p_values = (0.25, 0.5, 1, 2, 4)
for i,p in enumerate(p_values):
    x = np.arange(-r,r+1e-5,1/128.0)
    y = (r**p - (abs(x)**p))**(1.0/p)
    y = zip(y, -y)
    plot(x, y, linestyle[i], label=str(i))
axis('equal')
show()

结果是这样的(由内到外p逐渐增大，蓝线代表p=0.25，黄线代表p=4)：

 

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第一个图是截图后用MyPaint做的标记（红线），这是一个ubuntu(Linux)平台上类似于window画图的工具，比较轻量级，找了我好一会……