墓地雕塑-LA3708

https://icpcarchive.ecs.baylor.edu/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=20&page=show_problem&problem=1709

在一个周长为10000的圆上等距分布着n个雕塑。现在又有m个新雕塑加入（位置可以随意放），希望所有n+m个雕塑在圆周上均匀分布。这就需要移动其中一些原有的雕塑。要求n个雕塑移动的总距离尽量小。

2<=n<=1000, 1<=m<=1000，输出最小总距离，精确到10^-4

 

这题是《算法竞赛入门经典--训练指南》第七页的一道例题，作者分析的时候声称一定有一个雕塑没有移动，但是没给出证明

我也没法给出证明，因为里面涉及到round（返回最接近的整数）这种非线性函数，有点难处理

但是我想到可以用Matlab画个图验证一下是不是这样，其实只要确定旧的n个点中的一个点在新的n+m个点构成的环上的位置，其余的点就都确定了，我们随便找一个点，让它在一个区间上移动，算出其在各个位置处对应的总距离。我预计这个图可能是中间凹，两边高，实际上并非如此，而是有很多峰。

在这个图中，n=7（注意到图中恰有7个峰），m=32，区间被分成1000份。峰的个数似乎是n/gcd(n,m)，对n=8,m=32和n=6，m=2都成立，但是对n=8,m=18就不成立（没有峰），我表示搞不懂，归纳不出这个公式……

所以，从图中可见，让该点处于区间一端确实可以使得总距离最小，但是这个点还有其他位置可以放，如上图中区间中部的6个最低点。（但是作者声称的一定有一个雕塑没移动，貌似也是对的）

Matlab代码如下：

%uva online judge LA 3708, test, <算法竞赛入门经典训练指南>第7页
n = 7;%original points on a circle
m = 32;% points to be added
dist = (n + m) / n;
step = 0.001;
total = zeros(1, 1 / step + 1);
t_idx = 0;
for start = 0 : step : 1
    t_idx = t_idx + 1;
    for idx = 0 : n - 1
        point = start + idx * dist;
        total(t_idx) = total(t_idx) + abs(point - round(point));
    end
end
plot(total) %此图与m无关，只与n有关

另外还画了一个在取定一个雕塑不动的情况下，总距离随m,n变化的3D图：

代码如下：

%uva online judge LA 3708, test2, <算法竞赛入门经典训练指南>第7页
%假设圈长为1，为计算方便，先假设圈长为n+m，然后再缩放一下
%n = 7;%original points on a circle
%m = 8;% points to be added

MAX = 30;%max test points for n
total = zeros(MAX, MAX);
start = 0;
for n = 1:MAX
    for m = 1 : MAX
        dist = (n + m) / n;
        for idx = 0 : n - 1
            point = start + idx * dist;
            total(n,m) = total(n,m) + abs(point - round(point));
        end
        total(n,m) = total(n,m) / (m + n);
    end
end
figure, mesh(total)