线性代数复习-向量空间-线性相关-向量组的秩

同济大学线性代数A网上教案（很好）http://web.tongji.edu.cn/~math/xxds/kcja/kcja_a/kcja_a.htm

向（矢）量空间（from wiki）：

给定域 F，一个矢量空间是个集合 V 并规定两个运算：

• 矢量加法：V × V → V，把 V 中的两个元素v和w变为 V 中另一个元素，记作 v + w；
• 标量乘法：F × V → V，把F中的一个元素a 和 V 中的一个元素v变为 V 中的另一个元素，记作a v。

这两个运算符合下列公理 (对F 中的任意元素 a、b 以及V 中的任意元素 u、v、w)：

1. 矢量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w，
2. 矢量加法交换律：v + w = w + v，
3. 存在矢量加法的单位元：V 里存在一个叫做零矢量的元素，记作0，满足：∀ v ∈ V , v + 0 = v，
4. 矢量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V, 使得 v + w = 0。
5. 标量乘法对矢量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w.
6. 标量乘法对域加法满足分配律：(a + b)v = a v + b v.
7. 标量乘法与标量的域乘法相容：a(b v) = (ab)v。
8. 标量乘法有单位元：域 F 的乘法单位元1满足：∀ v，1 v = v。

线性相关：

对向量组 ，如果存在一组不全为零的数  , 使得

那么, 称向量组 线性相关. 如果这样的 个数不存在, 即上述向量等式仅当 时才能成立, 就称向量组 线性无关.

相关结论：

（1）含有0向量的向量组一定线性相关

（2）两个向量对应分量成比例，则它们一定线性相关

（3）部分组线性相关，则整体向量组也线性相关；整体向量组线性无关，则其部分组也线性无关

（4）任意n+1个n维向量一定线性相关

（5）只有一个向量  组成的向量组线性无关的充分必要条件是  , 线性相关的充分必要条件是 

线性表示和线性组合（概念从略）

定理1：向量组 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余  个向量线性表示

极大线性无关组和向量组的秩

设S是一个n维向量组,α1,α2,...αr 是S的一个部分组.如果

(1) α1,α2,...αr 线性无关;

(2)从S中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关，

那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组,或极大无关组。

 极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一。但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量，所含向量个数称为向量组的秩。

等价向量组

 设有  和  两个向量组，如果每一个  都可以经 线性表示，并且每一个  都可以经  线性表示，就称这两个向量组等价。

向量组等价满足（1）自反性（2）对称性（3）传递性

定理：一个向量组和它的任意一个极大无关组是等价的

定理：等价向量组有相同的秩

定理：矩阵A的秩等于构成A的行向量组的秩，也等于构成A的列向量组的秩